Determine whether each system mathcal{H} given below is time invariant.
mathcal{H} x(n)=x(n)-x(n-1)

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear (em tempo discreto)
\mathcal{H}x(n)=x(n)-x(n-1)
e pede para determinar se esse sistema é invariante no tempo.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do operador \mathcal{H} sobre um sinal x(n) é x(n)-x(n-1).
  • O teste de invariância no tempo envolve comparar o efeito de deslocar o sinal de entrada antes de aplicar \mathcal{H} com o efeito de aplicar \mathcal{H} primeiro e depois deslocar o resultado.
  • Em tempo discreto, o deslocamento por n_0 é o sinal x_d(n)=x(n-n_0), com n_0 inteiro.
O que o enunciado pergunta:
  • Verificar se, para todo sinal x(n) e para todo deslocamento inteiro n_0, vale
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\} \stackrel{?}{=} \big(\mathcal{H}\{x(n)\}\big)\big|_{n\leftarrow n-n_0}.

Passo 2

Definição e ideia do teste (explicação didática curta):
  • Um sistema é invariante no tempo se deslocar a entrada e depois aplicar o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema e depois deslocar a saída.
  • Formalmente, para todo x(n) e todo inteiro n_0, devemos ter
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\} = \big(\mathcal{H}\{x(n)\}\big)\big|_{n\leftarrow n-n_0} = \mathcal{H}\{x(n)\}\big(n-n_0\).
Aqui n é a variável de tempo discreto e n_0 é o deslocamento inteiro. A verificação consiste em calcular ambos os lados e comparar.

Passo 3

Calcular primeiro o lado “aplicar o sistema após deslocar a entrada”:
Defina o sinal deslocado
x_d(n)=x(n-n_0).
Agora aplique \mathcal{H} a x_d:
\mathcal{H}\{x_d(n)\}=x_d(n)-x_d(n-1).
Substituindo x_d pela definição:
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=x(n-n_0)-x\big((n-1)-n_0\big).
Simplificando o segundo argumento:
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=x(n-n_0)-x(n-n_0-1).

Passo 4

Calcular agora o lado “aplicar o sistema e depois deslocar a saída”:
Primeiro aplique \mathcal{H} ao sinal original x(n):
y(n)=\mathcal{H}\{x(n)\}=x(n)-x(n-1).
Agora desloque y(n) por n_0, ou seja, considere y(n-n_0):
y(n-n_0)=x(n-n_0)-x\big((n-n_0)-1\big).
Simplificando o segundo termo:
y(n-n_0)=x(n-n_0)-x(n-n_0-1).

Passo 5

Comparação dos dois resultados obtidos:
Do Passo 3 obtivemos
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=x(n-n_0)-x(n-n_0-1),
e do Passo 4 obtivemos
\mathcal{H}\{x(n)\}\big(n-n_0\)=x(n-n_0)-x(n-n_0-1).
Os dois lados são idênticos para todo n e para todo inteiro n_0. Portanto o operador produz a mesma saída quer se desloque a entrada antes quer se desloque a saída depois.

Passo 6

Breve intuição e exemplo numérico para fixar (aprender fazendo):
Intuitivamente, \mathcal{H} é o operador diferença que pega o valor atual e subtrai o valor com um atraso fixo de uma amostra. Como esse atraso é “fixo” e não depende de n, o comportamento não muda se deslocar o tempo.
Exemplo concreto: tome x(n)=\delta(n) (impulso unitário) e n_0=2.
  • Primeiro deslocar e depois aplicar: x_d(n)=\delta(n-2). Então
\mathcal{H}\{x_d(n)\}=\delta(n-2)-\delta(n-3).
  • Primeiro aplicar e depois deslocar: \mathcal{H}\{\delta(n)\}=\delta(n)-\delta(n-1). Deslocando por 2:
\big(\mathcal{H}\{\delta(n)\}\big)(n-2)=\delta(n-2)-\delta(n-3).
Os resultados coincidem, confirmando o cálculo simbólico anterior.

Resposta

O sistema \mathcal{H}x(n)=x(n)-x(n-1) é invariante no tempo.

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