Determine whether each system
given below is time invariant.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o sistema
é invariante no tempo, onde o sistema é definido por
Informações dadas:
- O sinal de entrada é
, um sinal discreto em . - O operador
multiplica o sinal de entrada pelo fator . - A pergunta é apenas: “o sistema é invariante no tempo?” (responder sim ou não, justificando).
Passo 2
Definição clara e didática de invariância no tempo (discreta):
Um sistema é invariante no tempo se, para todo sinal
e para qualquer deslocamento inteiro
, valem as duas quantidades iguais:
Um sistema
Mais explícito: se
, o sistema é invariante no tempo quando, para todo
e todo
,
Intuição simples: deslocar a entrada no tempo e depois aplicar o sistema deve dar o mesmo resultado que aplicar o sistema primeiro e só então deslocar o resultado. Se o operador depende explicitamente de
(o índice do tempo), isso normalmente quebra a invariância.
Passo 3
Aplicar a definição ao sistema dado — passo algébrico:
- Calcular
. Substitui-se por na expressão do sistema:
- Calcular
, onde . Para obter substitui-se por :
- Comparar as duas expressões:
Essas duas expressões são iguais para todo
e todo
somente se
o que só acontece quando
. Para deslocamentos não nulos
em geral
. Portanto, em geral
Passo 4
Dar um contraexemplo concreto (forma prática, fácil de checar):
Escolher para todo
(sinal constante) e escolher deslocamento
.
Escolher
- Então
- E
Escolhendo, por exemplo,:
Os valores não coincidem (
), logo o sistema não satisfaz a condição de invariância no tempo.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática:
O fator multiplicativo depende explicitamente do instante de tempo
. Isso significa que o comportamento do sistema muda se mudarmos a origem do tempo (ou seja, se deslocarmos o sinal). Sistemas invariantes no tempo não podem depender explicitamente de
; devem tratar o mesmo padrão de entrada da mesma forma em qualquer instante. Como aqui o ganho é diferente em instantes diferentes, o sistema é tempo-variável.
O fator multiplicativo
Resposta
O sistema
não é invariante no tempo.