Determine whether each system mathcal{H} given below is time invariant.
mathcal{H} x(n)=n^{2} x(n)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema \mathcal{H} é invariante no tempo, onde o sistema é definido por
\mathcal{H}x(n)=n^{2}x(n).
Informações dadas:
  • O sinal de entrada é x(n), um sinal discreto em n.
  • O operador \mathcal{H} multiplica o sinal de entrada pelo fator n^{2}.
  • A pergunta é apenas: “o sistema é invariante no tempo?” (responder sim ou não, justificando).

Passo 2

Definição clara e didática de invariância no tempo (discreta):
Um sistema \mathcal{H} é invariante no tempo se, para todo sinal x(n) e para qualquer deslocamento inteiro n_{0}, valem as duas quantidades iguais:
\mathcal{H}\{x(n-n_{0})\} \quad\text{e}\quad \big(\mathcal{H}\{x(n)\}\big)_{n\to n-n_{0}}.
Mais explícito: se y(n)=\mathcal{H}\{x(n)\}, o sistema é invariante no tempo quando, para todo x e todo n_{0},
\mathcal{H}\{x(n-n_{0})\}=y(n-n_{0}).
Intuição simples: deslocar a entrada no tempo e depois aplicar o sistema deve dar o mesmo resultado que aplicar o sistema primeiro e só então deslocar o resultado. Se o operador depende explicitamente de n (o índice do tempo), isso normalmente quebra a invariância.

Passo 3

Aplicar a definição ao sistema dado — passo algébrico:
  1. Calcular \mathcal{H}\{x(n-n_{0})\}. Substitui-se x(\cdot) por x(n-n_{0}) na expressão do sistema:
\mathcal{H}\{x(n-n_{0})\}=n^{2}\,x(n-n_{0}).
  1. Calcular y(n-n_{0}), onde y(n)=\mathcal{H}\{x(n)\}=n^{2}x(n). Para obter y(n-n_{0}) substitui-se n por n-n_{0}:
y(n-n_{0})=(n-n_{0})^{2}\,x(n-n_{0}).
  1. Comparar as duas expressões:
\mathcal{H}\{x(n-n_{0})\}=n^{2}\,x(n-n_{0})\qquad\text{versus}\qquad y(n-n_{0})=(n-n_{0})^{2}\,x(n-n_{0}).
Essas duas expressões são iguais para todo n e todo x somente se
n^{2}=(n-n_{0})^{2}\quad\text{para todo }n,
o que só acontece quando n_{0}=0. Para deslocamentos não nulos n_{0}\neq 0 em geral n^{2}\neq (n-n_{0})^{2}. Portanto, em geral
\mathcal{H}\{x(n-n_{0})\}\neq y(n-n_{0}).

Passo 4

Dar um contraexemplo concreto (forma prática, fácil de checar):
Escolher x(n)=1 para todo n (sinal constante) e escolher deslocamento n_{0}=1.
  • Então \mathcal{H}\{x(n-1)\}=n^{2}\cdot 1 = n^{2}.
  • E y(n-1)=\big(\mathcal{H}\{x(n)\}\big)_{n\to n-1}=(n-1)^{2}\cdot 1=(n-1)^{2}.
    Escolhendo, por exemplo, n=0:
\mathcal{H}\{x(-1)\}=0^{2}=0,\qquad y(-1)=(0-1)^{2}=1.
Os valores não coincidem ( 0\neq 1), logo o sistema não satisfaz a condição de invariância no tempo.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática:
O fator multiplicativo n^{2} depende explicitamente do instante de tempo n. Isso significa que o comportamento do sistema muda se mudarmos a origem do tempo (ou seja, se deslocarmos o sinal). Sistemas invariantes no tempo não podem depender explicitamente de n; devem tratar o mesmo padrão de entrada da mesma forma em qualquer instante. Como aqui o ganho é diferente em instantes diferentes, o sistema é tempo-variável.

Resposta

O sistema \mathcal{H}x(n)=n^{2}x(n) não é invariante no tempo.

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