Determine whether each of the equations in Problems 1 through 12 is exact. If it is exact, find the solution.
x d x(x^2+y^2)^3 / 2+y d y(x^2+y^2)^3 / 2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,dxl(x^2+y^2r)^3/2+y,dyl(x^2+y^2r)^3/2=0
e nos pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, achar a solução geral. Aqui temos uma equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=xl(x^2+y^2r)^3/2, N(x,y)=yl(x^2+y^2r)^3/2

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y =partialpartial ygl[x,(x^2+y^2)^-3/2gr] =xcdotl(-tfrac32r)(x^2+y^2)^-5/2cdot2y =-3,xy(x^2+y^2)^5/2,
partial Npartial x =partialpartial xgl[y,(x^2+y^2)^-3/2gr] =ycdotl(-tfrac32r)(x^2+y^2)^-5/2cdot2x =-3,xy(x^2+y^2)^5/2
Como partial M/partial y=partial N/partial x em qualquer ponto com x^2+y^2neq0, a equação é exata nesse domínio.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) =x(x^2+y^2)^3/2
Integramos em relação a x, tratando y como constante. Fazendo u=x^2+y^2, temos du=2x,dx, então
Phi(x,y) =integral x(x^2+y^2)^3/2,dx =integral 12u^-3/2,du =-u^-1/2+h(y) =-1raizx^2+y^2+h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial Phipartial y =partialpartial yl[-(x^2+y^2)^-1/2+h(y)r] = y,(x^2+y^2)^-3/2+h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=y,(x^2+y^2)^-3/2. Daí h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
-1raizx^2+y^2=C,
ou equivalentemente
raizx^2+y^2=C',
com C' constante positiva.

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