Determine whether or not the signals below are periodic and, for each signal that is periodic, determine the fundamental period.
x(n)=\cos (0.125 \pi n)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto
x(n)=\cos\bigl(0.125\pi\,n\bigr)
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, determinar seu período fundamental. Para sinais discretos, usamos a condição
x(n+N)=x(n)\quad\forall\,n
com N inteiro positivo.

Passo 2

A condição de periodicidade implica
\cos\bigl(0.125\pi\,(n+N)\bigr)=\cos\bigl(0.125\pi\,n\bigr)
que vale sempre que o avanço na fase for múltiplo inteiro de 2\pi. Logo, existe m\in\mathbb{Z} tal que
0.125\pi\,N = 2\pi\,m.

Passo 3

Resolvendo para N:
N = \frac{2\pi\,m}{0.125\pi} = \frac{2m}{0.125} = 16\,m.
O menor N>0 ocorre para m=1, de modo que o período fundamental é
N_0 = 16.

Resposta

O sinal é periódico e seu período fundamental é N_0 = 16.

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