Determine whether or not the signals below are periodic and, for each signal that is periodic, determine the fundamental period.
x(n)=\operatorname{Re}\left\{e^{j n \pi / 12}\right\}+\operatorname{Im}\left\{e^{j n \pi / 18}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência discreta
x(n) = \operatorname{Re}\{e^{j n \pi/12}\} \;+\;\operatorname{Im}\{e^{j n \pi/18}\}
é periódica. Se for, devemos achar o menor inteiro positivo N_0 tal que
x(n+N_0) = x(n)\quad\forall n.
O conteúdo necessário envolve a periodicidade de exponenciais complexas em tempo discreto e a combinação de duas sequências periódicas.

Passo 2

Considere a parte real
x_1(n) = \operatorname{Re}\{e^{j n \pi/12}\}.
A sequência complexa e^{j n \omega_1} é periódica se existir inteiro N_1 tal que
e^{j (n+N_1)\omega_1} = e^{j n\omega_1} \quad\Longrightarrow\quad N_1\omega_1 = 2\pi m,\;\;m\in\mathbb{Z}.
Aqui \omega_1 = \pi/12, logo
N_1 \frac{\pi}{12} = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad N_1 = 24\,m.
O menor N_1>0 ocorre quando m=1, ou seja
N_1 = 24.
Como a parte real de e^{j n\omega_1} herda o mesmo período, x_1(n) tem período fundamental 24.

Passo 3

Agora a parte imaginária
x_2(n) = \operatorname{Im}\{e^{j n \pi/18}\}.
Pelo mesmo raciocínio, com \omega_2 = \pi/18, exige-se
N_2 \frac{\pi}{18} = 2\pi m' \quad\Longrightarrow\quad N_2 = 36\,m'.
O menor N_2>0 é para m'=1, portanto
N_2 = 36.

Passo 4

A soma de duas sequências periódicas x_1(n) e x_2(n) é periódica se a razão dos períodos N_1/N_2 for racional (o que acontece aqui) e o período fundamental será
N_0 = \mathrm{lcm}(N_1,\,N_2) = \mathrm{lcm}(24,\,36) = 72.
Assim, x(n) repete a cada 72 amostras.

Resposta

A sequência é periódica, com período fundamental N_0 = 72.

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