Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
The set
of pure imaginary numbers including 0
The set
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede, em palavras bem claras:
- É dada a subcoleção
(os números puramente imaginários, incluindo ). - O grupo ambiente é
, isto é, os complexos sob adição. - A pergunta: determinar se
é um subgrupo de . Ou seja, decidir se é um subconjunto de que, com a operação de adição herdada, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo por si só.
Passo 2
Lembrete didático das definições essenciais (vou explicar cada coisa devagarinho):
- Um conjunto
é subgrupo de um grupo (com mesma operação) quando é não-vazio e fechado sob a operação e contém inversos relativos nessa operação. Para grupos abelianos com operação + (como aqui), é comum usar este teste prático: verificar que -
(identidade aditiva) pertence a (ou ao menos que é não-vazio), -
é fechado sob soma: se então , -
contém inversos aditivos: se então .
-
- Alternativa útil: para grupos escritos aditivamente, um subconjunto não-vazio
é subgrupo se for fechado sob subtração: para todo , tem-se . Isso encurta provas porque inverso e fechamento sob soma ficam implícitos.
Explicando variáveis: aqui os elementos típicos de
escrevem-se como
com
. O
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
Verificar que o conjunto não é vazio e contém a identidade aditiva:
- O número
é parte de , então pertence a . - Portanto
é não-vazio e contém a identidade aditiva de .
Passo 4
Verificar fechamento sob adição (mostrando passo a passo a conta):
- Tome dois elementos arbitrários de
. Podemos escrevê-los como e , com . - Calcule a soma:
- Como
e são reais, também é real (fechamento da adição em ). - Logo
. Assim é fechado sob soma.
Exemplo concreto para fixar:
, e
, então o resultado está em
.
Passo 5
Verificar existência de inversos aditivos dentro do conjunto:
- Pegue um elemento qualquer
com . - O inverso aditivo em
é . - Escreva
. - Como
(fechamento da multiplicação por em ), segue que . - Assim todo elemento de
tem seu inverso aditivo também em .
Exemplo: o inverso de
é
, que está em
.
Passo 6
Comentário sobre associatividade e conclusão técnica:
- A associatividade da adição é uma propriedade de
e é herdada pelo subconjunto porque a operação é a mesma. Logo não é necessário provar associatividade de novo. - Já verificamos:
contém , é fechado sob soma e contém inversos aditivos. Portanto satisfaz todos os requisitos para ser subgrupo de .
Passo 7
Observação alternativa (mais curta) usando o teste da subtração:
- Para reforçar: se
então e , então . Assim o conjunto é fechado sob subtração e, por ser não-vazio, é subgrupo. É só uma versão compacta da prova anterior.
Resposta
Sim,
é um subgrupo de
.