Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
The set i \mathbb{R} of pure imaginary numbers including 0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede, em palavras bem claras:
  • É dada a subcoleção i\mathbb{R}=\{\,i y \mid y\in\mathbb{R}\,\} (os números puramente imaginários, incluindo 0).
  • O grupo ambiente é (\mathbb{C},+), isto é, os complexos sob adição.
  • A pergunta: determinar se i\mathbb{R} é um subgrupo de (\mathbb{C},+). Ou seja, decidir se i\mathbb{R} é um subconjunto de \mathbb{C} que, com a operação de adição herdada, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo por si só.

Passo 2

Lembrete didático das definições essenciais (vou explicar cada coisa devagarinho):
  • Um conjunto H é subgrupo de um grupo G (com mesma operação) quando H é não-vazio e fechado sob a operação e contém inversos relativos nessa operação. Para grupos abelianos com operação + (como aqui), é comum usar este teste prático: verificar que
    1. 0 (identidade aditiva) pertence a H (ou ao menos que H é não-vazio),
    2. H é fechado sob soma: se x,y\in H então x+y\in H,
    3. H contém inversos aditivos: se x\in H então -x\in H.
  • Alternativa útil: para grupos escritos aditivamente, um subconjunto não-vazio H é subgrupo se for fechado sob subtração: para todo x,y\in H, tem-se x-y\in H. Isso encurta provas porque inverso e fechamento sob soma ficam implícitos.
Explicando variáveis: aqui os elementos típicos de i\mathbb{R} escrevem-se como i a com a\in\mathbb{R}. O i é a unidade imaginária ( i^2=-1).

Passo 3

Verificar que o conjunto não é vazio e contém a identidade aditiva:
  • O número 0 é parte de \mathbb{R}, então i\cdot 0=0 pertence a i\mathbb{R}.
  • Portanto i\mathbb{R} é não-vazio e contém a identidade aditiva 0 de (\mathbb{C},+).

Passo 4

Verificar fechamento sob adição (mostrando passo a passo a conta):
  • Tome dois elementos arbitrários de i\mathbb{R}. Podemos escrevê-los como i a e i b, com a,b\in\mathbb{R}.
  • Calcule a soma: i a + i b = i(a+b).
  • Como a e b são reais, a+b também é real (fechamento da adição em \mathbb{R}).
  • Logo i(a+b)\in i\mathbb{R}. Assim i\mathbb{R} é fechado sob soma.
Exemplo concreto para fixar: i\cdot 2 + i\cdot 3 = i\cdot 5, e 5\in\mathbb{R}, então o resultado está em i\mathbb{R}.

Passo 5

Verificar existência de inversos aditivos dentro do conjunto:
  • Pegue um elemento qualquer i a com a\in\mathbb{R}.
  • O inverso aditivo em (\mathbb{C},+) é -i a.
  • Escreva -i a = i(-a).
  • Como -a\in\mathbb{R} (fechamento da multiplicação por -1 em \mathbb{R}), segue que -i a\in i\mathbb{R}.
  • Assim todo elemento de i\mathbb{R} tem seu inverso aditivo também em i\mathbb{R}.
Exemplo: o inverso de i\cdot 4 é -i\cdot 4 = i(-4), que está em i\mathbb{R}.

Passo 6

Comentário sobre associatividade e conclusão técnica:
  • A associatividade da adição é uma propriedade de (\mathbb{C},+) e é herdada pelo subconjunto i\mathbb{R} porque a operação é a mesma. Logo não é necessário provar associatividade de novo.
  • Já verificamos: i\mathbb{R} contém 0, é fechado sob soma e contém inversos aditivos. Portanto satisfaz todos os requisitos para ser subgrupo de (\mathbb{C},+).

Passo 7

Observação alternativa (mais curta) usando o teste da subtração:
  • Para reforçar: se i a,i b\in i\mathbb{R} então i a - i b = i(a-b),e a-b\in\mathbb{R}, então i a - i b\in i\mathbb{R}. Assim o conjunto é fechado sob subtração e, por ser não-vazio, é subgrupo. É só uma versão compacta da prova anterior.

Resposta

Sim, i\mathbb{R} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).

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