Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o subconjunto
dos números complexos é um subgrupo do grupo
. Informações dadas:
- O grupo ambienta é
, ou seja, todos os números complexos com a adição. - O subconjunto é
. Note que cada elemento de é um número real (portanto também um complexo) da forma com inteiro. - A pergunta é:
é subgrupo de ?
Passo 2
Lembra do que significa “ser subgrupo” num grupo aditivo? Vou explicar de forma simples: um subconjunto
de um grupo aditivo
é subgrupo se e somente se satisfaz duas propriedades (uma forma prática):
-
contém o elemento neutro . -
é fechado sob soma e sob inverso aditivo — ou, de forma equivalente, é fechado sob subtração: para quaisquer vale .
Essas condições são suficientes porque, se
e
é fechado sob subtração, então o inverso aditivo de
é
, e a soma
é
. Vou usar a versão “contém
, fechado sob soma e fechado sob inverso” pois é intuitiva.
Passo 3
Verificar que
.
Mostraremos explicitamente:
e
. Logo
. Portanto a condição do neutro está OK.
Passo 4
Verificar a clausura sob soma: pegar
arbitrários e mostrar
.
Se
, existem inteiros
tais que
e
. Então
Como a soma de dois inteiros
é um inteiro (isto é,
), segue que
tem a forma
, logo
. Assim a clausura sob soma vale.
Passo 5
Verificar a existência do inverso aditivo dentro do conjunto: para
mostrar
.
Se
então
para algum
. O inverso aditivo é
Como
, segue que
. Portanto todo elemento tem inverso no conjunto.
Passo 6
Como mostramos que
, que
é fechado sob soma e que todo elemento tem inverso aditivo em
, concluímos que
satisfaz as condições para ser subgrupo de
.
Observação adicional (útil na prova):
é o subgrupo cíclico gerado por
; isto é,
, e é isomorfo a
. Mas isso é só um comentário extra — não é necessário para decidir se é subgrupo.
Resposta
Sim.
é um subgrupo de
.