Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
7 \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o subconjunto 7\mathbb{Z} dos números complexos é um subgrupo do grupo (\mathbb{C},+). Informações dadas:
  • O grupo ambienta é (\mathbb{C},+), ou seja, todos os números complexos com a adição.
  • O subconjunto é 7\mathbb{Z}=\{\,7n \mid n\in\mathbb{Z}\,\}. Note que cada elemento de 7\mathbb{Z} é um número real (portanto também um complexo) da forma 7n com n inteiro.
  • A pergunta é: 7\mathbb{Z} é subgrupo de (\mathbb{C},+)?

Passo 2

Lembra do que significa “ser subgrupo” num grupo aditivo? Vou explicar de forma simples: um subconjunto H de um grupo aditivo G é subgrupo se e somente se satisfaz duas propriedades (uma forma prática):
  1. H contém o elemento neutro 0.
  2. H é fechado sob soma e sob inverso aditivo — ou, de forma equivalente, é fechado sob subtração: para quaisquer x,y\in H vale x-y\in H.
Essas condições são suficientes porque, se 0\in H e H é fechado sob subtração, então o inverso aditivo de x é 0-x\in H, e a soma x+y é x-(-y)\in H. Vou usar a versão “contém 0, fechado sob soma e fechado sob inverso” pois é intuitiva.

Passo 3

Verificar que 0\in 7\mathbb{Z}.
Mostraremos explicitamente: 0 = 7\cdot 0 e 0\in\mathbb{Z}. Logo 0\in 7\mathbb{Z}. Portanto a condição do neutro está OK.

Passo 4

Verificar a clausura sob soma: pegar a,b\in 7\mathbb{Z} arbitrários e mostrar a+b\in 7\mathbb{Z}.
Se a,b\in 7\mathbb{Z}, existem inteiros m,n\in\mathbb{Z} tais que a=7m e b=7n. Então
a+b = 7m + 7n = 7(m+n).
Como a soma de dois inteiros m+n é um inteiro (isto é, m+n\in\mathbb{Z}), segue que a+b tem a forma 7\cdot(\text{inteiro}), logo a+b\in 7\mathbb{Z}. Assim a clausura sob soma vale.

Passo 5

Verificar a existência do inverso aditivo dentro do conjunto: para a\in 7\mathbb{Z} mostrar -a\in 7\mathbb{Z}.
Se a\in 7\mathbb{Z} então a=7n para algum n\in\mathbb{Z}. O inverso aditivo é
-a = -7n = 7(-n).
Como -n\in\mathbb{Z}, segue que -a\in 7\mathbb{Z}. Portanto todo elemento tem inverso no conjunto.

Passo 6

Como mostramos que 0\in 7\mathbb{Z}, que 7\mathbb{Z} é fechado sob soma e que todo elemento tem inverso aditivo em 7\mathbb{Z}, concluímos que 7\mathbb{Z} satisfaz as condições para ser subgrupo de (\mathbb{C},+).
Observação adicional (útil na prova): 7\mathbb{Z} é o subgrupo cíclico gerado por 7; isto é, 7\mathbb{Z}=\langle 7\rangle, e é isomorfo a (\mathbb{Z},+). Mas isso é só um comentário extra — não é necessário para decidir se é subgrupo.

Resposta

Sim. 7\mathbb{Z} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).

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