determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} \{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right),\left(0, \frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0, \frac{1}{2}\right)\}
Passo 1
O enunciado pede três coisas com o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3}:
(a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
(b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
(c) Determinar se o conjunto é base de \mathbb{R}^{3}.
que também é diferente de zero. Portanto v_{2} e v_{3} não são ortogonais.
Passo 5
Conclusão sobre (a) e (b):
Como pelo menos um produto escalar entre dois vetores do conjunto é diferente de zero (na verdade todos os pares deram produto escalar não nulo), o conjunto NÃO é ortogonal.
A definição de ortonormal exige primeiro ortogonalidade e depois norma unitária de cada vetor. Como o conjunto não é ortogonal, ele também NÃO é ortonormal. (Não faz sentido aplicar a verificação de normas se a ortogonalidade falhou — mas mesmo assim os produtos escalares não nulos já bastam.)
Passo 6
Agora vamos analisar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{3}. Lembrando a teoria:
Em \mathbb{R}^{3}, um conjunto de três vetores é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente se a matriz formada por esses vetores como colunas tiver determinante diferente de zero).
Vou montar a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Cálculo do determinante de M. Observação prática: a segunda linha tem zeros nas colunas 1 e 3, então é conveniente desenvolver o determinante por essa linha. O determinante fica:
Esse número é claramente diferente de zero (produto de radicais e somas positivas). Portanto \det(M)\neq 0.
Passo 9
Conclusão sobre (c): como \det(M)\neq 0, os três vetores são linearmente independentes. Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}, ou seja, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
(a) Não, o conjunto não é ortogonal.
(b) Não é ortonormal (não é ortogonal, logo não pode ser ortonormal).
(c) Sim, os vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3} (a matriz formada por eles tem determinante \dfrac{\sqrt{10}\,(5+\sqrt{5})}{75}\neq 0).