determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right),\left(0, \frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0, \frac{1}{2}\right)\}

Passo 1

O enunciado pede três coisas com o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3}:
  • (a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
  • (b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
  • (c) Determinar se o conjunto é base de \mathbb{R}^{3}.
Os vetores fornecidos são
v_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},\,0,\,-\frac{\sqrt{2}}{6}\right),\qquad v_{2}=\left(0,\,\frac{2\sqrt{5}}{5},\,-\frac{\sqrt{5}}{5}\right),\qquad v_{3}=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\,0,\,\frac{1}{2}\right).

Passo 2

O que significa ser ortogonal? Vou explicar passo a passo, como se estivéssemos revisando na prova:
  • Dois vetores a e b em \mathbb{R}^{n} são ortogonais se o produto escalar deles for zero, isto é, se
a\cdot b = 0.
  • Para um conjunto ser ortogonal, todo par distinto de vetores do conjunto tem que ser ortogonal entre si (produto escalar zero para cada par).
  • O produto escalar de a=(a_{1},a_{2},a_{3}) e b=(b_{1},b_{2},b_{3}) em \mathbb{R}^{3} é
a\cdot b = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Então, para testar ortogonalidade do conjunto, calculamos os produtos escalares v_{1}\cdot v_{2}, v_{1}\cdot v_{3} e v_{2}\cdot v_{3}.

Passo 3

Cálculo de v_{1}\cdot v_{2}. Substituindo coordenadas:
v_{1}\cdot v_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 0 \;+\; 0\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5} \;+\; \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right).
As duas primeiras parcelas são zero; a terceira é positiva:
v_{1}\cdot v_{2} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{5}}{6\cdot 5} = \frac{\sqrt{10}}{30}.
Observação: \dfrac{\sqrt{10}}{30} é diferente de zero. Portanto já basta para concluir que v_{1} e v_{2} não são ortogonais.

Passo 4

Para sermos completos, calculo também os outros produtos escalares:
Cálculo de v_{1}\cdot v_{3}:
v_{1}\cdot v_{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} \;+\; 0\cdot 0 \;+\; \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot\frac{1}{2}.
As parcelas são
\frac{\sqrt{10}}{15}\quad\text{e}\quad -\frac{\sqrt{2}}{12},
logo
v_{1}\cdot v_{3} = \frac{\sqrt{10}}{15} - \frac{\sqrt{2}}{12},
o que não é zero (não há cancelamento exato entre radicais diferentes). Portanto v_{1} e v_{3} também não são ortogonais.
Cálculo de v_{2}\cdot v_{3}:
v_{2}\cdot v_{3} = 0\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} \;+\; \frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot 0 \;+\; \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\cdot\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{10},
que também é diferente de zero. Portanto v_{2} e v_{3} não são ortogonais.

Passo 5

Conclusão sobre (a) e (b):
  • Como pelo menos um produto escalar entre dois vetores do conjunto é diferente de zero (na verdade todos os pares deram produto escalar não nulo), o conjunto NÃO é ortogonal.
  • A definição de ortonormal exige primeiro ortogonalidade e depois norma unitária de cada vetor. Como o conjunto não é ortogonal, ele também NÃO é ortonormal. (Não faz sentido aplicar a verificação de normas se a ortogonalidade falhou — mas mesmo assim os produtos escalares não nulos já bastam.)

Passo 6

Agora vamos analisar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{3}. Lembrando a teoria:
  • Em \mathbb{R}^{3}, um conjunto de três vetores é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente se a matriz formada por esses vetores como colunas tiver determinante diferente de zero).
  • Vou montar a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{5}}{5} \\\\ 0 & \frac{2\sqrt{5}}{5} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{2}}{6} & -\frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Passo 7

Cálculo do determinante de M. Observação prática: a segunda linha tem zeros nas colunas 1 e 3, então é conveniente desenvolver o determinante por essa linha. O determinante fica:
\det(M) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot \det\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\\\ -\frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\\\ -\frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{2} \;-\; \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right).
As parcelas são
\frac{\sqrt{2}}{6}\quad\text{e}\quad +\frac{\sqrt{10}}{30}.
Somando:
\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{10}}{30} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{2}\,(5+\sqrt{5})}{30},
pois \sqrt{10}=\sqrt{2}\,\sqrt{5}.

Passo 8

Voltando ao determinante total:
\det(M) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}\,(5+\sqrt{5})}{30} = \frac{2\sqrt{10}\,(5+\sqrt{5})}{150} = \frac{\sqrt{10}\,(5+\sqrt{5})}{75}.
Esse número é claramente diferente de zero (produto de radicais e somas positivas). Portanto \det(M)\neq 0.

Passo 9

Conclusão sobre (c): como \det(M)\neq 0, os três vetores são linearmente independentes. Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}, ou seja, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(a) Não, o conjunto não é ortogonal.
(b) Não é ortonormal (não é ortogonal, logo não pode ser ortonormal).
(c) Sim, os vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3} (a matriz formada por eles tem determinante \dfrac{\sqrt{10}\,(5+\sqrt{5})}{75}\neq 0).

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