determine whether the set of vectors in
is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de três vetores em
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada vetor tem 3 componentes, logo o espaço ambiente é
(isto é, ).
O que o enunciado pergunta:
(a) determinar se o conjunto é ortogonal;
(b) se for ortogonal, determinar se é também ortonormal;
(c) determinar se o conjunto é uma base de.
Passo 2
Definição e teste de ortogonalidade. Vou explicar a ferramenta que usamos: para dois vetores
e
em
o produto interno (produto escalar) é
Dois vetores são ortogonais quando seu produto interno é zero:
.
Agora calculo os produtos internos pares, passo a passo.
Cálculo de
:
Avalio cada termo e somo:
logo
Cálculo de
:
Avalio:
logo
Cálculo de
:
Avalio:
logo
Conclusão deste passo: todos os produtos internos entre pares são zero, portanto os três vetores são mutuamente ortogonais — o conjunto é ortogonal.
Passo 3
Definição de norma e ortonormalidade. Para um vetor
a norma (comprimento) é
Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e, além disso, cada vetor tiver norma igual a
(ou seja, vetores mutuamente ortogonais e unitários).
Calculo as normas dos vetores dados.
Para
:
portanto
Para
:
portanto
Para
:
portanto
Conclusão: embora o conjunto seja ortogonal (Passo 2), nenhum dos vetores tem norma
. Portanto o conjunto não é ortonormal. (Observação prática: poderia-se normalizar cada vetor dividindo por sua norma para obter uma base ortonormal, mas a questão pediu apenas se o conjunto dado é ortonormal.)
Passo 4
Verificação se o conjunto é uma base de
. Vou usar um fato importante e fácil de aplicar: um conjunto de vetores ortogonais não nulos é linearmente independente. Explico isso rapidamente de forma intuitiva: se uma combinação linear
existisse com algum coeficiente não nulo, ao fazer produto escalar com, por exemplo,
e usar a ortogonalidade com os outros vetores, obter-se-ia
, e como
isso força
; repetindo para os outros, todos os coeficientes são zero — logo independência linear.
Aplicando ao nosso caso:
- Pelo Passo 2 sabemos que os vetores são ortogonais.
- Pelo Passo 3 os vetores não são o vetor nulo (têm norma positiva), logo são vetores não nulos.
- Assim
são linearmente independentes.
Em
a dimensão é
. Portanto qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes é uma base de
(porque tem o mesmo número de vetores que a dimensão e são independentes, então também geram o espaço).
Conclusão: o conjunto é uma base de
.
Resposta
(a) O conjunto é ortogonal.
(b) O conjunto não é ortonormal.
(c) O conjunto é uma base de .
(b) O conjunto não é ortonormal.
(c) O conjunto é uma base de