determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{(4,-1,1),(-1,0,4),(-4,-17,-1)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^n:
v_1=(4,-1,1),\qquad v_2=(-1,0,4),\qquad v_3=(-4,-17,-1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada vetor tem 3 componentes, logo o espaço ambiente é \mathbb{R}^3 (isto é, n=3).
    O que o enunciado pergunta:
    (a) determinar se o conjunto é ortogonal;
    (b) se for ortogonal, determinar se é também ortonormal;
    (c) determinar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Definição e teste de ortogonalidade. Vou explicar a ferramenta que usamos: para dois vetores \,u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3)\, em \mathbb{R}^3 o produto interno (produto escalar) é
u\cdot w = u_1 w_1 + u_2 w_2 + u_3 w_3.
Dois vetores são ortogonais quando seu produto interno é zero: u\cdot w=0.
Agora calculo os produtos internos pares, passo a passo.
Cálculo de v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2 = (4)(-1) + (-1)(0) + (1)(4).
Avalio cada termo e somo:
(4)(-1) = -4,\quad (-1)(0)=0,\quad (1)(4)=4,
logo
v_1\cdot v_2 = -4 + 0 + 4 = 0.
Cálculo de v_1\cdot v_3:
v_1\cdot v_3 = (4)(-4) + (-1)(-17) + (1)(-1).
Avalio:
(4)(-4) = -16,\quad (-1)(-17)=17,\quad (1)(-1)=-1,
logo
v_1\cdot v_3 = -16 + 17 - 1 = 0.
Cálculo de v_2\cdot v_3:
v_2\cdot v_3 = (-1)(-4) + (0)(-17) + (4)(-1).
Avalio:
(-1)(-4)=4,\quad (0)(-17)=0,\quad (4)(-1)=-4,
logo
v_2\cdot v_3 = 4 + 0 - 4 = 0.
Conclusão deste passo: todos os produtos internos entre pares são zero, portanto os três vetores são mutuamente ortogonais — o conjunto é ortogonal.

Passo 3

Definição de norma e ortonormalidade. Para um vetor u=(u_1,u_2,u_3) a norma (comprimento) é
\|u\| = \sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{2}}.
Um conjunto é ortonormal se for ortogonal e, além disso, cada vetor tiver norma igual a 1 (ou seja, vetores mutuamente ortogonais e unitários).
Calculo as normas dos vetores dados.
Para v_1:
\|v_1\|^{2} = 4^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} = 16 + 1 + 1 = 18,
portanto
\|v_1\| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\neq 1.
Para v_2:
\|v_2\|^{2} = (-1)^{2} + 0^{2} + 4^{2} = 1 + 0 + 16 = 17,
portanto
\|v_2\| = \sqrt{17}\neq 1.
Para v_3:
\|v_3\|^{2} = (-4)^{2} + (-17)^{2} + (-1)^{2} = 16 + 289 + 1 = 306,
portanto
\|v_3\| = \sqrt{306}\neq 1.
Conclusão: embora o conjunto seja ortogonal (Passo 2), nenhum dos vetores tem norma 1. Portanto o conjunto não é ortonormal. (Observação prática: poderia-se normalizar cada vetor dividindo por sua norma para obter uma base ortonormal, mas a questão pediu apenas se o conjunto dado é ortonormal.)

Passo 4

Verificação se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^3. Vou usar um fato importante e fácil de aplicar: um conjunto de vetores ortogonais não nulos é linearmente independente. Explico isso rapidamente de forma intuitiva: se uma combinação linear \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0 existisse com algum coeficiente não nulo, ao fazer produto escalar com, por exemplo, v_1 e usar a ortogonalidade com os outros vetores, obter-se-ia \alpha_1 \|v_1\|^{2}=0, e como \|v_1\|^{2}>0 isso força \alpha_1=0; repetindo para os outros, todos os coeficientes são zero — logo independência linear.
Aplicando ao nosso caso:
  • Pelo Passo 2 sabemos que os vetores são ortogonais.
  • Pelo Passo 3 os vetores não são o vetor nulo (têm norma positiva), logo são vetores não nulos.
  • Assim v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
Em \mathbb{R}^3 a dimensão é 3. Portanto qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes é uma base de \mathbb{R}^3 (porque tem o mesmo número de vetores que a dimensão e são independentes, então também geram o espaço).
Conclusão: o conjunto é uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

(a) O conjunto é ortogonal.
(b) O conjunto não é ortonormal.
(c) O conjunto é uma base de \mathbb{R}^3.

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