determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right),\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
  • (b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
  • (c) Determinar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{n} (aqui parece n=3).
Informações dadas (peguei do enunciado): o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{3} é
v_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,0,\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\qquad v_{2}=\left(-\frac{\sqrt{6}}{6},\,\frac{\sqrt{6}}{3},\,\frac{\sqrt{6}}{6}\right),\qquad v_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\,\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Vou verificar, passo a passo, produto interno entre pares (para ortogonalidade), normas (para ortonormalidade) e então usar propriedade de independência/geração para base.

Passo 2

Lembrete do conceito (aula rápida e prática):
  • Dois vetores a,b\in\mathbb{R}^{3} são ortogonais se o produto interno (produto escalar) a\cdot b=0.
  • O produto interno de a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • Um conjunto é ortogonal se todos os pares distintos têm produto interno zero.
  • Um conjunto ortogonal é ortonormal se, além de serem ortogonais, todos os vetores têm norma 1. A norma de a é \|a\|=\sqrt{a\cdot a}.
    Vou calcular os produtos internos v_1\cdot v_2, v_1\cdot v_3, v_2\cdot v_3 com detalhes.

Passo 3

Calcular v_{1}\cdot v_{2}:
v_{1}\cdot v_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 0\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}.
Simplificando os termos semelhantes: note que \sqrt{2}\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. Então cada termo não-nulo vale
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Com sinais:
v_{1}\cdot v_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{6} + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} = 0.

Passo 4

Calcular v_{1}\cdot v_{3}:
v_{1}\cdot v_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} + 0\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Aqui \sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}. Cada termo não-nulo tem magnitude
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}.
Com sinais:
v_{1}\cdot v_{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} + 0 - \frac{\sqrt{6}}{6} = 0.

Passo 5

Calcular v_{2}\cdot v_{3}:
v_{2}\cdot v_{3} = \left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Multiplicando \sqrt{6}\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}. Então cada tipo de termo fica:
\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{18}}{18} = -\frac{3\sqrt{2}}{18} = -\frac{\sqrt{2}}{6},
\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{18}}{9} = \frac{3\sqrt{2}}{9} = \frac{\sqrt{2}}{3},
\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{18}}{18} = -\frac{\sqrt{2}}{6}.
Somando:
v_{2}\cdot v_{3} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{3} -\frac{\sqrt{2}}{6} = \left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\sqrt{2} = 0.

Passo 6

Conclusão sobre ortogonalidade:
  • Como todos os produtos internos entre pares distintos são zero ( v_{1}\cdot v_{2}=0, v_{1}\cdot v_{3}=0, v_{2}\cdot v_{3}=0), o conjunto é ortogonal.

Passo 7

Agora verificar ortonormalidade: preciso checar se cada vetor tem norma 1. Relembrando, a norma é \|v\|=\sqrt{v\cdot v}. Vou calcular v_i\cdot v_i (norma ao quadrado) para cada vetor.

Passo 8

Calcular \|v_{1}\|^{2}=v_{1}\cdot v_{1}:
\|v_{1}\|^{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+0^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{2}{4}+0+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Portanto \|v_{1}\|=1.

Passo 9

Calcular \|v_{2}\|^{2}=v_{2}\cdot v_{2}:
\|v_{2}\|^{2}=\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}.
Cada termo:
\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},\qquad \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Somando:
\|v_{2}\|^{2}=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1.
Logo \|v_{2}\|=1.

Passo 10

Calcular \|v_{3}\|^{2}=v_{3}\cdot v_{3}:
\|v_{3}\|^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2} = \frac{3}{9}+\frac{3}{9}+\frac{3}{9}= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1.
Então \|v_{3}\|=1.

Passo 11

Conclusão sobre ortonormalidade:
  • Como o conjunto é ortogonal e cada vetor tem norma 1, o conjunto é ortonormal.

Passo 12

Verificação de base:
  • Em \mathbb{R}^{3}, uma família de três vetores é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente se gerar \mathbb{R}^{3}).
  • Fato útil (e muito prático na prova): vetores não-nulos e mutuamente ortogonais são linearmente independentes. Como o conjunto é ortogonal e nenhum vetor é o vetor zero (todos têm norma 1), os três são linearmente independentes.
  • Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim — o conjunto é ortogonal.
Sim — o conjunto é ortonormal.
Sim — o conjunto é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados