determine whether the set of vectors in
is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar se o conjunto é ortogonal.
- (b) Se for ortogonal, determinar se é também ortonormal.
- (c) Determinar se o conjunto é uma base de
(aqui parece ).
Informações dadas (peguei do enunciado): o conjunto de vetores em
é
Vou verificar, passo a passo, produto interno entre pares (para ortogonalidade), normas (para ortonormalidade) e então usar propriedade de independência/geração para base.
Passo 2
Lembrete do conceito (aula rápida e prática):
- Dois vetores
são ortogonais se o produto interno (produto escalar) . - O produto interno de
e é
- Um conjunto é ortogonal se todos os pares distintos têm produto interno zero.
- Um conjunto ortogonal é ortonormal se, além de serem ortogonais, todos os vetores têm norma
. A norma de é .
Vou calcular os produtos internos, , com detalhes.
Passo 3
Calcular
:
Simplificando os termos semelhantes: note que
. Então cada termo não-nulo vale
Com sinais:
Passo 4
Calcular
:
Aqui
. Cada termo não-nulo tem magnitude
Com sinais:
Passo 5
Calcular
:
Multiplicando
. Então cada tipo de termo fica:
Somando:
Passo 6
Conclusão sobre ortogonalidade:
- Como todos os produtos internos entre pares distintos são zero (
, , ), o conjunto é ortogonal.
Passo 7
Agora verificar ortonormalidade: preciso checar se cada vetor tem norma
. Relembrando, a norma é
. Vou calcular
(norma ao quadrado) para cada vetor.
Passo 8
Calcular
:
Portanto
.
Passo 9
Calcular
:
Cada termo:
Somando:
Logo
.
Passo 10
Calcular
:
Então
.
Passo 11
Conclusão sobre ortonormalidade:
- Como o conjunto é ortogonal e cada vetor tem norma
, o conjunto é ortonormal.
Passo 12
Verificação de base:
- Em
, uma família de três vetores é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente se gerar ). - Fato útil (e muito prático na prova): vetores não-nulos e mutuamente ortogonais são linearmente independentes. Como o conjunto é ortogonal e nenhum vetor é o vetor zero (todos têm norma
), os três são linearmente independentes. - Três vetores linearmente independentes em
formam uma base de .
Resposta
Sim — o conjunto é ortogonal.
Sim — o conjunto é ortonormal.
Sim — o conjunto é uma base de .
Sim — o conjunto é ortonormal.
Sim — o conjunto é uma base de