determine whether the set of vectors in boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}} is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for boldsymbol{R}^{boldsymbol{n}}
\{(2,-4,2),(0,2,4),(-10,-4,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(2,-4,2),\qquad v_2=(0,2,4),\qquad v_3=(-10,-4,2).
As perguntas são:
(a) o conjunto é ortogonal?
(b) se for ortogonal, é também ortonormal?
(c) o conjunto é uma base de \mathbb{R}^n (aqui, observe que os vetores têm 3 componentes, então n=3)?

Passo 2

Lembrando o conceito: dois vetores a e b em \mathbb{R}^3 são ortogonais se o produto interno (produto escalar) deles for zero. O produto escalar padrão é dado por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,
onde a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3). Vou calcular os produtos escalares de todos os pares.

Passo 3

Calcular v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2 = 2\cdot0 + (-4)\cdot2 + 2\cdot4 = 0 -8 +8 = 0.

Passo 4

Calcular v_1\cdot v_3:
v_1\cdot v_3 = 2\cdot(-10) + (-4)\cdot(-4) + 2\cdot2 = -20 +16 +4 = 0.

Passo 5

Calcular v_2\cdot v_3:
v_2\cdot v_3 = 0\cdot(-10) + 2\cdot(-4) + 4\cdot2 = 0 -8 +8 = 0.

Passo 6

Como todos os produtos escalares entre pares são zero, os vetores são mutuamente ortogonais. Entretanto, para que um conjunto seja ortonormal é preciso, além de ortogonal, que cada vetor tenha norma 1. Vamos checar as normas.

Passo 7

A norma de um vetor v=(v_1,v_2,v_3) é \|v\|=\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}. Calcular \|v_1\|, \|v_2\| e \|v_3\|:
\|v_1\|^2 = 2^2 + (-4)^2 + 2^2 = 4 +16 +4 = 24, \qquad \|v_1\| = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.
\|v_2\|^2 = 0^2 + 2^2 + 4^2 = 0 +4 +16 = 20, \qquad \|v_2\| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
\|v_3\|^2 = (-10)^2 + (-4)^2 + 2^2 = 100 +16 +4 = 120, \qquad \|v_3\| = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}.
Nenhuma norma é igual a 1. Portanto o conjunto não é ortonormal (dá para torná-lo ortonormal normalizando cada vetor, mas atualmente não é).

Passo 8

Agora avaliar se o conjunto é uma base de \mathbb{R}^3. Lembrete: um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e só se for linearmente independente (equivalente a formar um sistema que gera todo \mathbb{R}^3). Uma propriedade útil: vetores mutuamente ortogonais e não-nulos são automaticamente linearmente independentes. Vou esboçar a prova curta dessa propriedade (útil para a prova):
Suponha c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0. Fazendo o produto escalar com v_1 ambos os lados,
(c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3)\cdot v_1 = 0\cdot v_1 = 0.
Pelo linearidade do produto escalar e por v_i\cdot v_1=0 para i\ne1,
c_1 (v_1\cdot v_1) + c_2 (v_2\cdot v_1) + c_3 (v_3\cdot v_1) = c_1 \|v_1\|^2 = 0.
Como \|v_1\|^2>0 (vetor não-nulo), segue c_1=0. Repetindo o raciocínio com produto escalar por v_2 e por v_3 obtem-se c_2=0 e c_3=0. Logo só a combinação trivial produz o zero, ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 9

Conclui-se que os três vetores são mutuamente ortogonais, não-nulos, portanto linearmente independentes. Como são três vetores em \mathbb{R}^3 e linearmente independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — é uma base de \mathbb{R}^3.

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