determine whether the set of vectors in
is orthogonal, (b) if the set is orthogonal, then determine whether it is also orthonormal, and (c) determine whether the set is a basis for
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de três vetores em
:
As perguntas são:
(a) o conjunto é ortogonal?
(b) se for ortogonal, é também ortonormal?
(c) o conjunto é uma base de (aqui, observe que os vetores têm 3 componentes, então
)?
(a) o conjunto é ortogonal?
(b) se for ortogonal, é também ortonormal?
(c) o conjunto é uma base de
Passo 2
Lembrando o conceito: dois vetores
e
em
são ortogonais se o produto interno (produto escalar) deles for zero. O produto escalar padrão é dado por
onde
e
. Vou calcular os produtos escalares de todos os pares.
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Calcular
:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Como todos os produtos escalares entre pares são zero, os vetores são mutuamente ortogonais. Entretanto, para que um conjunto seja ortonormal é preciso, além de ortogonal, que cada vetor tenha norma
. Vamos checar as normas.
Passo 7
A norma de um vetor
é
. Calcular
,
e
:
Nenhuma norma é igual a
. Portanto o conjunto não é ortonormal (dá para torná-lo ortonormal normalizando cada vetor, mas atualmente não é).
Passo 8
Agora avaliar se o conjunto é uma base de
. Lembrete: um conjunto de três vetores em
é base se e só se for linearmente independente (equivalente a formar um sistema que gera todo
). Uma propriedade útil: vetores mutuamente ortogonais e não-nulos são automaticamente linearmente independentes. Vou esboçar a prova curta dessa propriedade (útil para a prova):
Suponha
. Fazendo o produto escalar com
ambos os lados,
Pelo linearidade do produto escalar e por
para
,
Como
(vetor não-nulo), segue
. Repetindo o raciocínio com produto escalar por
e por
obtem-se
e
. Logo só a combinação trivial produz o zero, ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 9
Conclui-se que os três vetores são mutuamente ortogonais, não-nulos, portanto linearmente independentes. Como são três vetores em
e linearmente independentes, eles formam uma base de
.
Resposta
(a) Sim — o conjunto é ortogonal.
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — é uma base de .
(b) Não — o conjunto não é ortonormal.
(c) Sim — é uma base de