Determine which of the following velocity distributions are possible three-dimensional incompressible flows.
u=x^{2}+2 y+z^{2} ; v=x-2 y+z ; w=-2 x z+y^{2}+2 z

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de velocidade tridimensional e pede para determinarmos se ela pode representar um escoamento incompressível. As informações dadas são:
u = x^{2} + 2y + z^{2},
v = x - 2y + z,
w = -2xz + y^{2} + 2z.
A pergunta é: essa distribuição de velocidade é compatível com a condição de incompressibilidade em todo o espaço?

Passo 2

Para checar incompressibilidade precisamos usar a condição de conservação de massa para um fluido incompressível: o divergente do campo de velocidade deve ser zero em todo ponto. Em notação, se \mathbf{V}=(u,v,w), então a condição é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Aqui \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} são derivadas parciais: ao derivar por x tratamos y,z como constantes, etc. Essa é a ferramenta que vamos usar.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial u}{\partial x}. Temos u=x^{2}+2y+z^{2}. Derivando em relação a x (mantendo y,z fixos):
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y+z^{2}\bigr)=2x.
Explicação rápida: a derivada de x^{2} é 2x; termos que não dependem de x (como 2y e z^{2}) têm derivada zero.

Passo 4

Calculemos \frac{\partial v}{\partial y}. Temos v=x-2y+z. Derivando em relação a y:
\frac{\partial v}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x-2y+z\bigr)=-2.
Explicação: x e z são tratados como constantes (derivada zero) e a derivada de -2y é -2.

Passo 5

Calculemos \frac{\partial w}{\partial z}. Temos w=-2xz+y^{2}+2z. Derivando em relação a z:
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-2xz+y^{2}+2z\bigr)=-2x+2.
Explicação: o termo -2xz visto como função de z tem derivada -2x (pois -2x é constante em relação a z), y^{2} não depende de z e dá zero, e 2z 2.

Passo 6

Agora somamos as três parcelas para obter o divergente:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=2x+(-2)+(-2x+2).
Simplificando termo a termo:
2x-2-2x+2 = (2x-2x) + (-2+2) = 0 + 0 = 0.
Portanto o divergente é igual a zero em todo ponto (x,y,z).

Passo 7

Interpretação didática: encontrar \nabla\cdot\mathbf{V}=0 significa que, localmente, não há ganho nem perda de massa — o fluido não se comprime nem se expande — então o campo de velocidades é compatível com um escoamento incompressível. A verificação acima depende apenas das derivações parciais e é válida para todos os pontos do espaço (não apareceu dependência que anule só em pontos específicos).

Resposta

Sim — a distribuição de velocidade é possível como um escoamento incompressível, pois \nabla\cdot\mathbf{V}=0 em todo o espaço.

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