Determine which of the following velocity distributions are possible three-dimensional incompressible flows.
Passo 1
O enunciado fornece uma distribuição de velocidade tridimensional e pede para determinarmos se ela pode representar um escoamento incompressível. As informações dadas são:
A pergunta é: essa distribuição de velocidade é compatível com a condição de incompressibilidade em todo o espaço?
Passo 2
Para checar incompressibilidade precisamos usar a condição de conservação de massa para um fluido incompressível: o divergente do campo de velocidade deve ser zero em todo ponto. Em notação, se
, então a condição é
Aqui
,
,
são derivadas parciais: ao derivar por
tratamos
como constantes, etc. Essa é a ferramenta que vamos usar.
Passo 3
Calculemos
. Temos
. Derivando em relação a
(mantendo
fixos):
Explicação rápida: a derivada de
é
; termos que não dependem de
(como
e
) têm derivada zero.
Passo 4
Calculemos
. Temos
. Derivando em relação a
:
Explicação:
e
são tratados como constantes (derivada zero) e a derivada de
é
.
Passo 5
Calculemos
. Temos
. Derivando em relação a
:
Explicação: o termo
visto como função de
tem derivada
(pois
é constante em relação a
),
não depende de
e dá zero, e
dá
.
Passo 6
Agora somamos as três parcelas para obter o divergente:
Simplificando termo a termo:
Portanto o divergente é igual a zero em todo ponto
.
Passo 7
Interpretação didática: encontrar
significa que, localmente, não há ganho nem perda de massa — o fluido não se comprime nem se expande — então o campo de velocidades é compatível com um escoamento incompressível. A verificação acima depende apenas das derivações parciais e é válida para todos os pontos do espaço (não apareceu dependência que anule só em pontos específicos).
Resposta
Sim — a distribuição de velocidade é possível como um escoamento incompressível, pois
em todo o espaço.