5.3 The x component of velocity in a steady, incompressible flow field in the x y plane is u=A / x, where A=2 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, and x is measured in meters. Find the simplest y component of velocity for this flow field.

Passo 1

Dados do enunciado:
u=\frac{A}{x},\qquad A=2\\ \mathrm{m^2/s},
o fluxo é estacionário e incompressível no plano x y, e x é medido em metros.
O que o exercício pede: encontrar o componente y mais simples da velocidade, isto é, determinar v(x,y) que torne o campo de velocidade incompressível.

Passo 2

Fórmula básica que precisamos usar (condição de incompressibilidade em 2D):
Para um escoamento incompressível no plano (x,y) a continuidade impõe
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicando: u(x,y) é a componente de velocidade na direção x, v(x,y) é a componente na direção y. A equação diz que a soma das taxas de variação dessas componentes nas suas direções respectivas deve ser zero, garantindo que não haja variação local do volume (fluxo divergente nulo).

Passo 3

Calculemos \partial u/\partial x. Escrevemos u como potência:
u=A x^{-1}.
Usamos a regra da potência (derivada de x^n é n x^{n-1}). Assim
\frac{\partial u}{\partial x}=A\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{A}{x^{2}}.
Verificação de unidades: A tem unidade \mathrm{m^2/s}, dividido por x^2 com x em \mathrm{m} \mathrm{m/s}, consistente com derivada de velocidade.

Passo 4

Substituímos na equação da continuidade:
-\frac{A}{x^{2}}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isolando \partial v/\partial y,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{A}{x^{2}}.
Observe que o lado direito depende de x apenas, não de y. Integrando em relação a y obtemos v:
v(x,y)=\int \frac{A}{x^{2}}\,dy=\frac{A}{x^{2}}\,y + C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x (a “constante” de integração pode depender de x porque derivamos em relação a y).

Passo 5

Explicação sobre a arbitrariedade e escolha da solução mais simples: como o enunciado não fornece condições de contorno ou superfícies de referência, a família geral de soluções é
v(x,y)=\frac{A}{x^{2}}\,y + C(x).
A solução mais simples é tomada escolhendo a função arbitrária nula: C(x)=0. Portanto a forma mais simples é
v(x,y)=\frac{A}{x^{2}}\,y.
Substituindo A=2 (valor dado),
v(x,y)=\frac{2\,y}{x^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida: calculemos \partial v/\partial y para a solução escolhida:
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{A}{x^{2}}.
Somando com \partial u/\partial x=-A/x^{2} temos zero, logo a continuidade é satisfeita. Observação física: existe singularidade em x=0 (as expressões divergem), portanto a solução vale para x\neq 0.

Resposta

\displaystyle v(x,y)=\frac{A}{x^{2}}\,y
\displaystyle (com A=2: \displaystyle v(x,y)=\frac{2y}{x^{2}})

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