5.3 The
component of velocity in a steady, incompressible flow field in the
plane is
, where
, and
is measured in meters. Find the simplest
component of velocity for this flow field.
Passo 1
Dados do enunciado:
o fluxo é estacionário e incompressível no plano
, e
é medido em metros.
O que o exercício pede: encontrar o componente mais simples da velocidade, isto é, determinar
que torne o campo de velocidade incompressível.
O que o exercício pede: encontrar o componente
Passo 2
Fórmula básica que precisamos usar (condição de incompressibilidade em 2D):
Para um escoamento incompressível no plano a continuidade impõe
Para um escoamento incompressível no plano
Explicando:
é a componente de velocidade na direção
,
é a componente na direção
. A equação diz que a soma das taxas de variação dessas componentes nas suas direções respectivas deve ser zero, garantindo que não haja variação local do volume (fluxo divergente nulo).
Passo 3
Calculemos
. Escrevemos
como potência:
Usamos a regra da potência (derivada de
é
). Assim
Verificação de unidades:
tem unidade
, dividido por
com
em
dá
, consistente com derivada de velocidade.
Passo 4
Substituímos na equação da continuidade:
Isolando
,
Observe que o lado direito depende de
apenas, não de
. Integrando em relação a
obtemos
:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração pode depender de
porque derivamos em relação a
).
Passo 5
Explicação sobre a arbitrariedade e escolha da solução mais simples: como o enunciado não fornece condições de contorno ou superfícies de referência, a família geral de soluções é
A solução mais simples é tomada escolhendo a função arbitrária nula:
. Portanto a forma mais simples é
Substituindo
(valor dado),
Passo 6
Verificação rápida: calculemos
para a solução escolhida:
Somando com
temos zero, logo a continuidade é satisfeita. Observação física: existe singularidade em
(as expressões divergem), portanto a solução vale para
.