Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o Wronskiano de duas funções:
Conteúdo envolvido: O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se um conjunto de soluções de uma equação diferencial é linearmente independente. Para calcular o Wronskiano de duas funções, precisamos derivar cada uma delas e montar uma matriz com essas funções e suas derivadas.
O que precisamos: Saber calcular derivadas e montar determinantes de matrizes 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
Para $ y_{1}(t) = e^{-3t} $:
A derivada de $ e^{-3t} $ em relação a $ t $ é:
Para $ y_{2}(t) = te^{-3t} $:
Usamos a regra do produto para derivar $ te^{-3t} $:
Passo 3
Agora que temos $ y_{1}(t) $, $ y_{2}(t) $ e suas derivadas, podemos montar a matriz do Wronskiano. A fórmula para o Wronskiano de duas funções é:
Substituindo as funções e suas derivadas na matriz:
y2(t)
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2 a & b c & d , o determinante é dado por $ ad - bc $.