Determine o wronskiano do par de funções y1(t)=e^-3t e y2(t)=te^-3t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o Wronskiano de duas funções:
y1(t) = e^-3t
y2(t) = te^-3t
Conteúdo envolvido: O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se um conjunto de soluções de uma equação diferencial é linearmente independente. Para calcular o Wronskiano de duas funções, precisamos derivar cada uma delas e montar uma matriz com essas funções e suas derivadas.
O que precisamos: Saber calcular derivadas e montar determinantes de matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
Para $ y_{1}(t) = e^{-3t} $:
A derivada de $ e^{-3t} $ em relação a $ t $ é:
y1(t)
Para $ y_{2}(t) = te^{-3t} $:
Usamos a regra do produto para derivar $ te^{-3t} $:
y2(t)

Passo 3

Agora que temos $ y_{1}(t) $, $ y_{2}(t) $ e suas derivadas, podemos montar a matriz do Wronskiano. A fórmula para o Wronskiano de duas funções é:
y1(t)
Substituindo as funções e suas derivadas na matriz:
y2(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2 a & b c & d , o determinante é dado por $ ad - bc $.
Aplicando isso ao nosso Wronskiano:
ad - bc
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
W(y1, y2) = (e^-3t)(e^-3t - 3te^-3t) - (te^-3t)(-3e^-3t)
e^-3t cdot e^-3t = e^-6t
Segundo termo:
e^-3t cdot (-3te^-3t) = -3te^-6t

Passo 5

Substituindo de volta, temos:
W(y1, y2) = e^-6t - 3te^-6t - (-3te^-6t) = e^-6t - 3te^-6t + 3te^-6t
Agora, simplificamos os termos:
-3te^-6t + 3te^-6t = 0
Então, sobra apenas:
W(y1, y2) = e^-6t

Resposta

O Wronskiano das funções $ y_{1}(t) = e^{-3t} $ e $ y_{2}(t) = te^{-3t} $ é:
y1(t) = e^-3t

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