Determine para quais x in R é verdade que f(x)=16-x^2(x+1)(3-x) >= 0.

Passo 1

A questão pede para encontrar todos os reais x tais que f(x)=16-x^2(x+1)(3-x)>=0. O conteúdo é inequação de função racional: vamos fatorar numerador e denominador, achar pontos críticos e fazer um estudo de sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
16-x^2=(4-x)(4+x)
(x+1)(3-x) já está fatorado.
Portanto
f(x)=(4-x)(4+x)(x+1)(3-x)

Passo 3

Determinamos os pontos onde cada fator muda de sinal:
zeros do numerador em x=4 e x=-4, e zeros do denominador em x=-1 e x=3 (estes excluídos da domínio).
Assim, os pontos críticos são -4,-1,3,4) que dividem a reta em cinco intervalos.

Passo 4

Em cada intervalo testamos rapidamente o sinal de f(x) escolhendo um valor de teste:
– Em (-infty,-4), por exemplo x=-5, o numerador é negativo e o denominador é negativo, logo f>0.
– Em (-4,-1), ex. x=-2, obtém-se f<0.
– Em (-1,3), ex. x=0, dá f>0.
– Em (3,4), ex. x=3.5, dá f<0.
– Em (4,infty), ex. x=5, dá f>0.
Além disso, em x=4 e x=-4 temos f=0, e em x=-1 ou x=3 a função não está definida.

Passo 5

Reunindo o que é >=0 e excluindo os pontos onde o denominador anula, concluímos que a solução é
(-infty,-4]cup(-1,3)cup[4,infty)

Resposta

(-infty,-4]cup(-1,3)cup[4,infty)

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