O enunciado dá uma função por partes e pede para esboçarmos o gráfico e calcularmos limxto1f(x) e limxto-1f(x). O conteúdo envolvido é limites e continuidade de funções definidas por trechos.
Passo 2
Vamos descrever e esboçar cada trecho: 1) Para x<-1, temos f(x)=x^2-2, que é uma parábola deslocada para baixo em 2 unidades. 2) Para -1<= x<=1, temos f(x)=raizx+1, que é metade de uma parábola “deitada” sobre o eixo x, iniciando em ( -1,0 ) e terminando em (1,raiz2). 3) Para x>1, temos f(x)=ln(x-1), cujo domínio começa em x=1, indo para ln0^+to-infty e crescendo lentamente.
Passo 3
Analisando xto-1: do lado esquerdo (x<-1), f(x)=x^2-2 leva a 1-2=-1. Do lado direito (x>-1), f(x)=raizx+1 leva a raiz0=0. Como as duas bordas diferem (-1 vs. 0), o limite limxto-1f(x) não existe.
Analisando xto1: pela esquerda (x<1), f(x)=raizx+1 leva a raiz2. Pela direita (x>1), f(x)=ln(x-1) e x-1to0^+ faz ln(x-1)to-infty. Como raiz2neq-infty, o limite limxto1f(x) não existe.
Passo 4
Para resumir: os limites laterais em x=-1 são limxto-1^-f(x)=-1 e limxto-1^+f(x)=0. Em x=1 são limxto1^-f(x)=raiz2 e limxto1^+f(x)=-infty.
Resposta
limxto-1f(x) não existe (:-1^-,0^+ diferentes) e limxto1f(x) não existe (raiz2neq-infty).