Esboce o gráfico e determine:
lim x 1 f(x) e lim x -1 f(x) para f(x)= x^2-2 & x<-1 raizx+1 & -1 <= x <= 1 ln (x-1) & 1

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede para esboçarmos o gráfico e calcularmos limxto1f(x) e limxto-1f(x). O conteúdo envolvido é limites e continuidade de funções definidas por trechos.

Passo 2

Vamos descrever e esboçar cada trecho: 1) Para x<-1, temos f(x)=x^2-2, que é uma parábola deslocada para baixo em 2 unidades. 2) Para -1<= x<=1, temos f(x)=raizx+1, que é metade de uma parábola “deitada” sobre o eixo x, iniciando em ( -1,0 ) e terminando em (1,raiz2). 3) Para x>1, temos f(x)=ln(x-1), cujo domínio começa em x=1, indo para ln0^+to-infty e crescendo lentamente.

Passo 3

Analisando xto-1: do lado esquerdo ( x<-1), f(x)=x^2-2 leva a 1-2=-1. Do lado direito ( x>-1), f(x)=raizx+1 leva a raiz0=0. Como as duas bordas diferem ( -1 vs. 0), o limite limxto-1f(x) não existe.
Analisando xto1: pela esquerda ( x<1), f(x)=raizx+1 leva a raiz2. Pela direita ( x>1), f(x)=ln(x-1) e x-1to0^+ faz ln(x-1)to-infty. Como raiz2neq-infty, o limite limxto1f(x) não existe.

Passo 4

Para resumir: os limites laterais em x=-1 são limxto-1^-f(x)=-1 e limxto-1^+f(x)=0. Em x=1 são limxto1^-f(x)=raiz2 e limxto1^+f(x)=-infty.

Resposta

limxto-1f(x) não existe ( :-1^-,0^+ diferentes) e limxto1f(x) não existe ( raiz2neq-infty).

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