Esboce o gráfico e determine lim x 0 f(x) e lim x 1 f(x) para
f(x)= e^x & x <= 0 raizx & 0= 1

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: para x≤0 temos f(x)=e^{x}, para 0<x<1 temos f(x)=\sqrt{x} e para x≥1 temos f(x)=\ln(x). O objetivo é esboçar o gráfico dessas três partes e calcular os limites limxto0f(x) e limxto1f(x), usando conhecimento de funções exponencial, raiz quadrada, logaritmo e limites unilaterais.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo separadamente. (a) Para x≤0, f(x)=e^{x} é a curva exponencial decrescente que passa em (0,1) – nesse ponto marcamos um ponto fechado. (b) Para 0<x<1, f(x)=\sqrt{x} é a raiz crescente de 0 a 1, com ponto aberto em (0,0) e em (1,1). © Para x≥1, f(x)=\ln(x) é a curva logarítmica que começa em x=1 com valor \ln(1)=0; marcamos (1,0) como ponto fechado e o gráfico cresce lentamente.

Passo 3

Para calcular limxto0f(x), usamos limites unilaterais. Pelo lado esquerdo,
limxto0^-f(x)=limxto0^-e^x=e^0=1,
e pelo lado direito,
limxto0^+f(x)=limxto0^+raizx=raiz0=0
Como os dois limites unilaterais são diferentes (1≠0), o limite limxto0f(x) não existe.

Passo 4

Para calcular limxto1f(x), novamente avaliamos os lados. Pelo lado esquerdo,
limxto1^-f(x)=limxto1^-raizx=raiz1=1,
e pelo lado direito,
limxto1^+f(x)=limxto1^+ln(x)=ln(1)=0
Como também aqui os limites unilaterais não coincidem (1≠0), o limite limxto1f(x) não existe.

Resposta

limxto0f(x) não existe e limxto1f(x) não existe.

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