Determine x de maneira que os pontos A(3,5) , B(1,3) e C(x,1) sejam os vertices de um triângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ x $ de maneira que os pontos $ A(3,5) $, $ B(1,3) $ e $ C(x,1) $ sejam os vértices de um triângulo. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo da colinearidade de pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa três pontos formarem um triângulo. Três pontos são vértices de um triângulo se e somente se eles não estiverem todos alinhados em uma mesma reta. Se eles estiverem na mesma reta, dizemos que são pontos colineares e, nesse caso, não formam um triângulo.
Passo 3
Então, nosso objetivo é garantir que os pontos $ A $, $ B $ e $ C $ não sejam colineares. Para verificar isso, podemos usar a fórmula da área do triângulo formada por três pontos no plano:
Se a área for diferente de zero, os pontos formam um triângulo.
Passo 4
Vamos aplicar os valores dos pontos na fórmula:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Para que a área seja diferente de zero:
Isso significa que:
Resposta
O valor de $ x $ deve ser diferente de
. Portanto, $ x \neq -1 $ para que os pontos $ A(3,5) $, $ B(1,3) $ e $ C(x,1) $ sejam os vértices de um triângulo.