Determine x de maneira que os pontos A(3,5) , B(1,3) e C(x,1) sejam os vertices de um triângulo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ x $ de maneira que os pontos $ A(3,5) $, $ B(1,3) $ e $ C(x,1) $ sejam os vértices de um triângulo. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo da colinearidade de pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa três pontos formarem um triângulo. Três pontos são vértices de um triângulo se e somente se eles não estiverem todos alinhados em uma mesma reta. Se eles estiverem na mesma reta, dizemos que são pontos colineares e, nesse caso, não formam um triângulo.

Passo 3

Então, nosso objetivo é garantir que os pontos $ A $, $ B $ e $ C $ não sejam colineares. Para verificar isso, podemos usar a fórmula da área do triângulo formada por três pontos no plano:
A Á
Se a área for diferente de zero, os pontos formam um triângulo.

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos pontos na fórmula:
Área = 12 | 3(3 - 1) + 1(1 - 5) + x(5 - 3) | neq 0 Á
Simplificando dentro do valor absoluto:
Área = 12 | 3(2) + 1(-4) + x(2) | neq 0 Á
Área = 12 | 6 - 4 + 2x | neq 0 Á
Área = 12 | 2 + 2x | neq 0 Á
Área = 12 cdot 2 | 1 + x | neq 0 Á
Área = | 1 + x | neq 0 Á
Para que a área seja diferente de zero:
| 1 + x | neq 0
Isso significa que:
1 + x neq 0
x neq -1

Resposta

O valor de $ x $ deve ser diferente de x . Portanto, $ x \neq -1 $ para que os pontos $ A(3,5) $, $ B(1,3) $ e $ C(x,1) $ sejam os vértices de um triângulo.

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