Cinco jogadores disputaram entre si um campeonato. Cada jogador jogou no máximo uma vez. O 1º jogador jogou somente uma vez. O 3º jogador jogou duas vezes, o 4º jogou três vezes e o 5º jogou quatro vezes. Quantas vezes jogou o 2º jogador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre combinatória no contexto de um campeonato entre cinco jogadores. Precisamos descobrir quantas vezes o 2º jogador jogou, sabendo quantas vezes os outros jogadores participaram dos jogos. Para resolver isso, vamos entender como distribuir os jogos entre os jogadores sem que ninguém jogue mais de uma vez contra o mesmo adversário.

Passo 2

Primeiro, vamos listar quantas vezes cada jogador já jogou:
  • Jogador 1: 1 vez
  • Jogador 3: 2 vezes
  • Jogador 4: 3 vezes
  • Jogador 5: 4 vezes
  • Jogador 2: ? vezes (é isso que queremos descobrir)

Passo 3

Cada jogo envolve dois jogadores. Então, se somarmos todas as vezes que os jogadores jogaram, estaremos contando cada jogo duas vezes (uma para cada participante). Por exemplo, se o Jogador A joga contra o Jogador B, isso conta como uma vez para o A e uma vez para o B.

Passo 4

Vamos somar as participações conhecidas:
1 (Jogador 1) + x (Jogador 2) + 2 (Jogador 3) + 3 (Jogador 4) + 4 (Jogador 5) = x + 10
Essa soma representa o total de “participações” nos jogos.

Passo 5

Sabemos que cada jogo é contado duas vezes nessa soma (uma para cada jogador). Então, o número total de jogos é a metade dessa soma:
Número de jogos = x + 102 ú

Passo 6

No campeonato com 5 jogadores, o número máximo de jogos que podem acontecer sem repetir adversários é dado pela combinação de 5 jogadores tomados 2 a 2:
C(5, 2) = 5!2! times (5-2)! = 10 jogos
Então, o número total de jogos realizados não pode exceder 10.

Passo 7

Igualando a expressão do número de jogos com o máximo possível:
x + 102 = 10
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
x + 10 = 20
Subtraindo 10 de ambos os lados:
x = 10

Passo 8

Mas espera aí! Cada jogador pode jogar no máximo contra 4 outros (já que são 5 jogadores no total). Então, o Jogador 2 não pode ter jogado 10 vezes. Parece que algo tá errado.

Passo 9

Vamos reconsiderar. A soma das participações deve ser par, já que cada jogo é contado duas vezes. Além disso, cada jogador só pode jogar até 4 vezes. Vamos testar possíveis valores para $ x $:
  • Se $ x = 0 $: Soma = 10 (par, mas o Jogador 5 já jogou 4 vezes, o que exige que o Jogador 2 jogue pelo menos 1 vez)
  • Se $ x = 2 $: Soma = 12 (par e viável)
  • Se $ x = 4 $: Soma = 14 (par, mas pode não ser viável dependendo dos outros jogadores)

Passo 10

Testando $ x = 2 $:
  • Jogador 1: joga 1 vez contra o Jogador 5
  • Jogador 2: joga 2 vezes contra, por exemplo, Jogador 4 e Jogador 5
  • Jogador 3: joga 2 vezes contra Jogador 4 e Jogador 5
  • Jogador 4: joga 3 vezes contra Jogadores 2, 3 e 5
  • Jogador 5: joga 4 vezes contra Jogadores 1, 2, 3 e 4
Tudo se encaixa direitinho!

Resposta

O 2º jogador jogou duas vezes.

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