Determine E(X) e \operatorname{Var}(X) da v.a. X com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\frac{1}{b-a} para a \leq x \leq b e f(x)=0 para x<a ou x>b.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X com densidade uniforme no intervalo [a,b], isto é:
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e f(x)=0 fora desse intervalo. A tarefa é determinar a esperança E(X) e a variância \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função densidade é constante igual a \dfrac{1}{b-a} em [a,b].
  • O suporte da v.a. X é o intervalo [a,b].
  • Precisamos calcular E(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Primeiro, lembro a definição de esperança para uma variável contínua: a esperança (ou valor esperado) é a integral de x multiplicada pela densidade sobre todo o suporte. Em fórmulas:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso f(x)=0 fora de [a,b], então a integral reduz-se a [a,b]. Vou usar essa definição para calcular E(X).

Passo 3

Calculemos E(X) aplicando a definição:
E(X)=\int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx.
Como \dfrac{1}{b-a} é constante, posso tirar fora da integral:
E(X)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x\,dx.
Agora calculo a integral \int_{a}^{b} x\,dx. A antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
\int_{a}^{b} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{a}^{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}.
Substituindo:
E(X)=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{2}.
Uso a fatoração b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a) para simplificar:
E(X)=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{(b-a)(b+a)}{2}=\frac{b+a}{2}.
Interpretação rápida: a esperança da uniforme contínua é o ponto médio do intervalo [a,b].

Passo 4

Para a variância, uso a definição
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^{2}\big]=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Portanto preciso calcular E(X^{2}) e já tenho E(X) (o passo anterior). Vou calcular E(X^{2}) pela definição:
E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}f(x)\,dx=\int_{a}^{b} x^{2}\cdot\frac{1}{b-a}\,dx.

Passo 5

Calcule E(X^{2}):
E(X^{2})=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x^{2}\,dx.
A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, então
\int_{a}^{b} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b}=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.
Logo
E(X^{2})=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.
Fatorando b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}) cancela-se b-a:
E(X^{2})=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}.

Passo 6

Agora calculo a variância usando \operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}. Substituo as expressões encontradas:
\operatorname{Var}(X)=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}-\left(\frac{b+a}{2}\right)^{2}.
Vou simplificar passo a passo. Primeiro escrevo os termos sobre um denominador comum 12:
\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}=\frac{4(b^{2}+ab+a^{2})}{12}, \qquad \left(\frac{b+a}{2}\right)^{2}=\frac{(b+a)^{2}}{4}=\frac{3(b+a)^{2}}{12}.
Subtraindo:
\operatorname{Var}(X)=\frac{4(b^{2}+ab+a^{2})-3(b+a)^{2}}{12}.
Expando numeradores:
4(b^{2}+ab+a^{2})=4b^{2}+4ab+4a^{2},
3(b+a)^{2}=3(b^{2}+2ab+a^{2})=3b^{2}+6ab+3a^{2}.
Fazendo a diferença:
4b^{2}+4ab+4a^{2}-(3b^{2}+6ab+3a^{2})=(4b^{2}-3b^{2})+(4a^{2}-3a^{2})+(4ab-6ab)=b^{2}+a^{2}-2ab.
Reescrevo b^{2}+a^{2}-2ab=(b-a)^{2}. Assim
\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}.
Interpretação: a variância cresce como o quadrado do comprimento do intervalo e está dividida por 12.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se a=0 e b=2, então
E(X)=\frac{0+2}{2}=1,\quad \operatorname{Var}(X)=\frac{(2-0)^{2}}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.

Resposta

E(X)=\dfrac{a+b}{2}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}

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