Determine
e
da v.a.
com função densidade de probabilidade dada por:
para
e
para
ou
.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória contínua
com densidade uniforme no intervalo
, isto é:
e
fora desse intervalo. A tarefa é determinar a esperança
e a variância
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função densidade é constante igual a
em . - O suporte da v.a.
é o intervalo . - Precisamos calcular
e .
Passo 2
Primeiro, lembro a definição de esperança para uma variável contínua: a esperança (ou valor esperado) é a integral de
multiplicada pela densidade sobre todo o suporte. Em fórmulas:
No nosso caso
fora de
, então a integral reduz-se a
. Vou usar essa definição para calcular
.
Passo 3
Calculemos
aplicando a definição:
Como
é constante, posso tirar fora da integral:
Agora calculo a integral
. A antiderivada de
é
, então
Substituindo:
Uso a fatoração
para simplificar:
Interpretação rápida: a esperança da uniforme contínua é o ponto médio do intervalo
.
Passo 4
Para a variância, uso a definição
Portanto preciso calcular
e já tenho
(o passo anterior). Vou calcular
pela definição:
Passo 5
Calcule
:
A antiderivada de
é
, então
Logo
Fatorando
cancela-se
:
Passo 6
Agora calculo a variância usando
. Substituo as expressões encontradas:
Vou simplificar passo a passo. Primeiro escrevo os termos sobre um denominador comum
:
Subtraindo:
Expando numeradores:
Fazendo a diferença:
Reescrevo
. Assim
Interpretação: a variância cresce como o quadrado do comprimento do intervalo e está dividida por 12.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se
e
, então