Inverta a ordem de integração.
integral-1^1 integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Vamos inverter a ordem de integração de
integralx=-1^1integraly=x^2^raiz2-x^2f(x,y),dy,dx
que é uma integral dupla sobre a região R delimitada pelas curvas y=x² e y=√(2–x²). Vamos precisar entender o domínio R no plano (x,y) e depois projetá-lo no eixo y.

Passo 2

Primeiro, desenhamos as curvas envolvidas. A curva
y=x^2
é uma parábola voltada para cima, e a curva
y=raiz2-x^2
é a semi-circunferência superior de raio raiz2. A região R fica entre essas duas curvas, para x variando de –1 a 1.

Passo 3

O próximo passo é achar a projeção de R no eixo y. Observamos que y assume valores mínimos quando x=0 em y=x², ou seja y=0, e valores máximos quando x=0 na semi-circunferência, ou seja y=√2. Logo,
ymin=0, ymax=raiz2

Passo 4

Para um y fixo entre 0 e √2, precisamos encontrar para quais x temos x²≤y (para ficar acima da parábola) e x²≤2–y² (para ficar abaixo da semicircunferência). Note que a curva y=x² está abaixo de y=√(2–x²) até o ponto de interseção y=1, e acima para y>1. Portanto, separamos em dois casos:
  1. Para 0≤y≤1, a condição mais restritiva é x²≤y, ou seja
-raizy<= x<=raizy
  1. Para 1≤y≤√2, a condição mais restritiva é x²≤2–y², ou seja
-raiz2-y^2<= x<=raiz2-y^2

Passo 5

Agora escrevemos a integral com a ordem invertida, somando as duas faixas de y encontradas: a primeira de 0 a 1 com limites de x dados por ±√y, e a segunda de 1 a √2 com limites de x dados por ±√(2–y²).

Resposta

integraly=0^1integralx=-raizy^raizyf(x,y),dx,dy +integraly=1^raiz2integralx=-raiz2-y^2^raiz2-y^2f(x,y),dx,dy

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