Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Vamos inverter a ordem de integração de
que é uma integral dupla sobre a região R delimitada pelas curvas y=x² e y=√(2–x²). Vamos precisar entender o domínio R no plano (x,y) e depois projetá-lo no eixo y.
Passo 2
Primeiro, desenhamos as curvas envolvidas. A curva
é uma parábola voltada para cima, e a curva
é a semi-circunferência superior de raio
. A região R fica entre essas duas curvas, para x variando de –1 a 1.
Passo 3
O próximo passo é achar a projeção de R no eixo y. Observamos que y assume valores mínimos quando x=0 em y=x², ou seja y=0, e valores máximos quando x=0 na semi-circunferência, ou seja y=√2. Logo,
Passo 4
Para um y fixo entre 0 e √2, precisamos encontrar para quais x temos x²≤y (para ficar acima da parábola) e x²≤2–y² (para ficar abaixo da semicircunferência). Note que a curva y=x² está abaixo de y=√(2–x²) até o ponto de interseção y=1, e acima para y>1. Portanto, separamos em dois casos:
- Para 0≤y≤1, a condição mais restritiva é x²≤y, ou seja
- Para 1≤y≤√2, a condição mais restritiva é x²≤2–y², ou seja
Passo 5
Agora escrevemos a integral com a ordem invertida, somando as duas faixas de y encontradas: a primeira de 0 a 1 com limites de x dados por ±√y, e a segunda de 1 a √2 com limites de x dados por ±√(2–y²).