Determine x para que a série seja convergente. (Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2 n x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n x^2n a série abaixo converge:
Aqui estamos lidando com séries infinitas e precisamos verificar a convergência dela. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para isso. Vamos ver como aplicar esse teste passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. O termo geral da série é:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n x^2n
Essa expressão parece complicada, mas podemos simplificar. Observe que o numerador é o produto dos primeiros números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros números pares. Isso pode ser reescrito usando fatoriais ou dobro fatorial, mas para simplificar, vamos manter dessa forma mesmo.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que uma série L = limn to infty | an+1an | < 1 converge se:
Vamos calcular esse limite .

Passo 4

Vamos encontrar an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2(n+1)-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2(n+1) x^2(n+1) :
an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n cdot 2(n+1) x^2n+2
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos formar a razão an+1an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n cdot 2(n+1) x^2n+21 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n x^2n :
Simplificando essa expressão:
an+1an = (2n+1)2(n+1) x^2

Passo 6

Agora, calculamos o limite L = limn to infty | (2n+1)2(n+1) x^2 | = | 2n2n x^2 | = |x^2| = x^2 :
Aqui, simplificamos dividindo numerador e denominador por e considerando o limite quando vai para infinito.

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, a série converge se x^2 < 1 . Então:
-1 < x < 1
Resolvendo essa desigualdade:

Resposta

A série converge para todo que satisfaz .

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