Calcule a área do triângulo formado pelas retas x=1, y=2 \mathrm{e} a tangente à cônica
x^{2}+4 y^{2}-2 x-16 y+13=0
no ponto \left(2, \frac{4+\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • As retas x=1 e y=2.
  • A cônica dada por x^{2}+4 y^{2}-2 x-16 y+13=0.
  • O ponto de tangência \left(2,\; \dfrac{4+\sqrt{3}}{2}\right) sobre essa cônica.
O que é pedido:
  • Calcular a área do triângulo formado pelas três retas: x=1, y=2 e a tangente à cônica no ponto \left(2,\; \dfrac{4+\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 2

Vamos obter a equação da tangente à curva implícita. Seja a função
F(x,y)=x^{2}+4y^{2}-2x-16y+13.
Para uma curva dada por F(x,y)=0, a equação da reta tangente no ponto (x_0,y_0) é dada por
F_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)=0,
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F em relação a x e y. Explicando de forma simples: isso vem da aproximação linear (diferencial total) de F perto do ponto — a tangente é a linha que melhor aproxima a curva nesse ponto e é obtida zerando essa aproximação.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F:
F_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+4y^{2}-2x-16y+13\bigr)=2x-2,
F_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+4y^{2}-2x-16y+13\bigr)=8y-16.
Avaliar em x_0=2 e y_0=\dfrac{4+\sqrt{3}}{2}. Primeiro note que
y_0=\frac{4+\sqrt{3}}{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
F_x(2,y_0)=2\cdot 2-2=2,
F_y(2,y_0)=8\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-16=16+4\sqrt{3}-16=4\sqrt{3}.

Passo 4

Usando a fórmula da tangente:
2\,(x-2)+4\sqrt{3}\,(y-y_0)=0.
Isolando y:
4\sqrt{3}\,(y-y_0)=-2\,(x-2)
y-y_0=-\frac{2}{4\sqrt{3}}(x-2)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}(x-2).
Portanto a tangente tem coeficiente angular (declive)
m=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 5

Encontrar interseções da tangente com x=1 e com y=2.
Interseção com x=1. Substituir x=1 na equação y-y_0=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}(x-2):
y-y_0=-\frac{1}{2\sqrt{3}}(1-2)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}(-1)=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Logo
y = y_0+\frac{1}{2\sqrt{3}} = 2+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Simplificando os dois termos com denominador 2\sqrt{3}:
\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3})^2+1}{2\sqrt{3}}=\frac{3+1}{2\sqrt{3}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Portanto a interseção com x=1 é o ponto
A=\Bigl(1,\;2+\frac{2}{\sqrt{3}}\Bigr).
Interseção com y=2. Substituir y=2 na equação da tangente:
y-y_0=2-y_0=2-\Bigl(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Usando y-y_0=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}(x-2), tem-se
-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}(x-2).
Multiplicando ambos os lados por -2\sqrt{3}:
x-2 = -2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=3.
Logo x=5. A interseção com y=2 é o ponto
B=(5,2).

Passo 6

Os três vértices do triângulo são:
  • C=(1,2), interseção óbvia entre x=1 e y=2;
  • A=\Bigl(1,\;2+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr), interseção tangente com x=1;
  • B=(5,2), interseção tangente com y=2.
Observe que AC é um segmento vertical de comprimento
|AC|=\left(2+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)-2=\frac{2}{\sqrt{3}},
e CB é um segmento horizontal de comprimento
|CB|=5-1=4.
Assim o triângulo é retângulo em C e sua área é
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |CB|=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 4=\frac{4}{\sqrt{3}}.Á
Racionalizando (opcional):
\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

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