Calcule a área do triângulo formado pelas retas
a tangente à cônica
no ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- As retas
e . - A cônica dada por
- O ponto de tangência
sobre essa cônica.
O que é pedido:
- Calcular a área do triângulo formado pelas três retas:
, e a tangente à cônica no ponto .
Passo 2
Vamos obter a equação da tangente à curva implícita. Seja a função
Para uma curva dada por
, a equação da reta tangente no ponto
é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Explicando de forma simples: isso vem da aproximação linear (diferencial total) de
perto do ponto — a tangente é a linha que melhor aproxima a curva nesse ponto e é obtida zerando essa aproximação.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Avaliar em
e
. Primeiro note que
Logo
Passo 4
Usando a fórmula da tangente:
Isolando
:
Portanto a tangente tem coeficiente angular (declive)
Passo 5
Encontrar interseções da tangente com
e com
.
Interseção com
. Substituir
na equação
:
Logo
Simplificando os dois termos com denominador
:
Portanto a interseção com
é o ponto
Interseção com
. Substituir
na equação da tangente:
Usando
, tem-se
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo
. A interseção com
é o ponto
Passo 6
Os três vértices do triângulo são:
-
, interseção óbvia entre e ; -
, interseção tangente com ; -
, interseção tangente com .
Observe que
é um segmento vertical de comprimento
e
é um segmento horizontal de comprimento
Assim o triângulo é retângulo em
e sua área é
Racionalizando (opcional):