Determine x tal que: \left|\begin{array}{rrr}1 & x & 1 \\\\ 1 & -1 & x \\\\ 1 & -x & 1\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar x tal que o determinante da matriz
\begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 1 & -1 & x \\\\ 1 & -x & 1 \end{vmatrix}
seja igual a zero. Informação dada: os elementos da matriz são os números mostrados (cada entrada é função de x quando aparece x). A incógnita é x. O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam esse determinante igual a 0.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos úteis sobre determinantes de matrizes 3\times3:
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada; aqui chamamos o determinante de D.
Operações de linha do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra linha” não alteram o valor do determinante. Em particular, substituir uma linha por ela menos outra linha preserva o determinante.
Para uma matriz com primeira coluna 1,0,0 (após operações), o determinante se reduz ao elemento da posição (1,1) vezes o determinante do menor 2\times2 obtido pelas colunas 2 e 3 e linhas 2 e 3. Vou usar essas propriedades para simplificar o cálculo.
Passo 3
Aplicar operações de linha para simplificar a matriz sem mudar o determinante. Substituir a segunda linha por \text{R}_2-\text{R}_1 e a terceira linha por \text{R}_3-\text{R}_1. Escrevendo as linhas originais:
Com a forma triangular na primeira coluna, o determinante D é o elemento \;1\; (posição (1,1)) multiplicado pelo determinante do menor 2\times2 formado pelas linhas 2 e 3 e colunas 2 e 3. Ou seja,
Lembrando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2: se a matriz é \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então o determinante é ad-bc. Aqui, a=-1-x, b=x-1, c=-2x, d=0. Portanto
D = (-1-x)\cdot 0 - (x-1)\cdot(-2x).
Passo 5
Calcular a expressão obtida:
D = 0 - (x-1)(-2x) = 2x(x-1).
Portanto o determinante da matriz é D=2x(x-1).
Passo 6
Agora resolver a condição do enunciado D=0. Temos
2x(x-1)=0.
Como 2\neq 0, a equação reduz-se a
x(x-1)=0.
Pelo produto nulo, isso ocorre quando x=0 ou x=1.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para confiança): substituir x=0 na matriz original dá linhas iguais? Com x=0 a matriz é