Determine x tal que:
\left|\begin{array}{rrr}1 & x & 1 \\\\ 1 & -1 & x \\\\ 1 & -x & 1\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar x tal que o determinante da matriz
\begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 1 & -1 & x \\\\ 1 & -x & 1 \end{vmatrix}
seja igual a zero. Informação dada: os elementos da matriz são os números mostrados (cada entrada é função de x quando aparece x). A incógnita é x. O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam esse determinante igual a 0.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos úteis sobre determinantes de matrizes 3\times3:
  • O determinante é um número associado a uma matriz quadrada; aqui chamamos o determinante de D.
  • Operações de linha do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra linha” não alteram o valor do determinante. Em particular, substituir uma linha por ela menos outra linha preserva o determinante.
  • Para uma matriz com primeira coluna 1,0,0 (após operações), o determinante se reduz ao elemento da posição (1,1) vezes o determinante do menor 2\times2 obtido pelas colunas 2 e 3 e linhas 2 e 3. Vou usar essas propriedades para simplificar o cálculo.

Passo 3

Aplicar operações de linha para simplificar a matriz sem mudar o determinante. Substituir a segunda linha por \text{R}_2-\text{R}_1 e a terceira linha por \text{R}_3-\text{R}_1. Escrevendo as linhas originais:
\text{R}_1=(1,\;x,\;1),\qquad \text{R}_2=(1,\;-1,\;x),\qquad \text{R}_3=(1,\;-x,\;1).
Após as operações:
\text{R}_2'=\text{R}_2-\text{R}_1=(1-1,\;-1-x,\;x-1)=(0,\;-1-x,\;x-1),
\text{R}_3'=\text{R}_3-\text{R}_1=(1-1,\;-x-x,\;1-1)=(0,\;-2x,\;0).
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\\\ 0 & -1-x & x-1 \\\\ 0 & -2x & 0 \end{pmatrix},
e o determinante D não mudou com essas operações.

Passo 4

Com a forma triangular na primeira coluna, o determinante D é o elemento \;1\; (posição (1,1)) multiplicado pelo determinante do menor 2\times2 formado pelas linhas 2 e 3 e colunas 2 e 3. Ou seja,
D = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1-x & x-1 \\\\ -2x & 0 \end{vmatrix}.
Lembrando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2: se a matriz é \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então o determinante é ad-bc. Aqui, a=-1-x, b=x-1, c=-2x, d=0. Portanto
D = (-1-x)\cdot 0 - (x-1)\cdot(-2x).

Passo 5

Calcular a expressão obtida:
D = 0 - (x-1)(-2x) = 2x(x-1).
Portanto o determinante da matriz é D=2x(x-1).

Passo 6

Agora resolver a condição do enunciado D=0. Temos
2x(x-1)=0.
Como 2\neq 0, a equação reduz-se a
x(x-1)=0.
Pelo produto nulo, isso ocorre quando x=0 ou x=1.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para confiança): substituir x=0 na matriz original dá linhas iguais? Com x=0 a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
as linhas 1 e 3 são iguais, portanto o determinante é zero — consistente. Com x=1 a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
as linhas 2 e 3 são iguais, logo o determinante é zero — também consistente.

Resposta

x=0
x=1

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