Determine x tal que:
\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x \\\\ 2 & 2 x & 1 \\\\ 3 & x+1 & 1\end{array}\right|=0

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os valores de x tais que a determinante abaixo seja zero:
\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x \\\\ 2 & 2x & 1 \\\\ 3 & x+1 & 1 \end{array}\right|=0.
Informações dadas (os elementos da matriz):
  • primeira linha: 1,\;x,\;x;
  • segunda linha: 2,\;2x,\;1;
  • terceira linha: 3,\;x+1,\;1.

Passo 2

Ideia útil (ferramenta que vou usar): operações elementares sobre linhas. Lembrete prático e intuitivo: se eu substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra linha (por exemplo L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1), isso NÃO altera o valor da determinante. Isso é ótimo porque permite criar zeros na primeira coluna e simplificar o cálculo.

Passo 3

Aplicando as operações que não mudam o determinante:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1.
Calculemos cada linha nova:
  • L_2: (2,\,2x,\,1) - 2(1,\,x,\,x) = (0,\,0,\,1-2x).
  • L_3: (3,\,x+1,\,1) - 3(1,\,x,\,x) = (0,\,1-2x,\,1-3x).
A matriz transformada (mesmo valor da determinante) é
\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x \\\\ 0 & 0 & 1-2x \\\\ 0 & 1-2x & 1-3x \end{array}\right|.

Passo 4

Agora expandindo a determinante pela primeira coluna (já que os elementos abaixo do primeiro são zeros), obtemos:
\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x \\\\ 0 & 0 & 1-2x \\\\ 0 & 1-2x & 1-3x \end{array}\right| = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 0 & 1-2x \\\\ 1-2x & 1-3x \end{array}\right|.
Aqui usei que o cofator associado à posição (1,1) é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna.

Passo 5

Calcule o determinante 2\times2:
\left|\begin{array}{cc} 0 & 1-2x \\\\ 1-2x & 1-3x \end{array}\right| = 0\cdot(1-3x) - (1-2x)\cdot(1-2x) = - (1-2x)^2.
Portanto a determinante original vale
D(x) = - (1-2x)^2.

Passo 6

Resolver D(x)=0:
- (1-2x)^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (1-2x)^2 = 0.
Isso implica
1-2x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1}{2}.
Observação amiga: a raiz tem multiplicidade 2 (é uma raiz dupla), mas para a prova geralmente interessa o valor x=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle x=\tfrac{1}{2}

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