(1 ponto) Ache um subconjunto de S=v1, v2, v3, v4 que seja uma base do espaço checkmark gerado por S, onde v1=(1,0,1,1), v2=(1,1,1,0), v3=(2,1,2,1), v4=(1,0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede um subconjunto de
S = v1,v2,v3,v4
que seja base do subespaço gerado por S. Lembrando que uma base é um conjunto de vetores que é linearmente independente e cujo span coincide com o span original. Vamos testar quais vetores de S são combinações lineares dos outros para eliminar dependências.

Passo 2

Verificamos se v3 é combinação de v1 e v2. Note que
v1 + v2 = (1,0,1,1) + (1,1,1,0) = (2,1,2,1) = v3
Logo v3 é dependente de v1 e v2 e pode ser removido da base.

Passo 3

Agora testamos se
isto é,
Isso gera o sistema
Das segunda e quarta equações temos , mas então a terceira diz . Há contradição, portanto não é combinação de e é independente deles.

Passo 4

Concluímos que v1,v2,v4 são linearmente independentes e que geram todo o span de S (pois v3 já está no span de v1,v2). Assim, elas formam uma base do espaço gerado por S.

Resposta

v1,v2,v4

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