(1 ponto) Ache um subconjunto de que seja uma base do espaço gerado por , onde .
Passo 1
O enunciado pede um subconjunto de
que seja base do subespaço gerado por . Lembrando que uma base é um conjunto de vetores que é linearmente independente e cujo span coincide com o span original. Vamos testar quais vetores de são combinações lineares dos outros para eliminar dependências.
Passo 2
Verificamos se é combinação de e . Note que
Logo é dependente de e e pode ser removido da base.
Passo 3
Agora testamos se
isto é,
Isso gera o sistema
Das segunda e quarta equações temos , mas então a terceira diz . Há contradição, portanto não é combinação de e é independente deles.
Passo 4
Concluímos que v1,v2,v4 são linearmente independentes e que geram todo o span de S (pois v3 já está no span de v1,v2). Assim, elas formam uma base do espaço gerado por S.