(3,5) Determine:
dd x[ln f(g(x))] para x=0, sabendo que f(x)=x cdot sen x e g^prime(0)=g(0)=pi / 2
[1,0]
Aplicando regras de derivação
dd x[ln f(g(x))]=dd x[f(g(x))]f(g(x))=f^prime(g(x)) g^prime(x)f(g(x))
Para x=0 temos g(0)=g^prime(0)=pi / 2, logo
dd x[ln f(g(x))](0)=f^prime(g(0)) g^prime(0)f(g(0))=f^prime(pi / 2) pi / 2f(pi / 2)
Temos f(pi / 2)=pi / 2 cdot sen(pi / 2)=pi / 2 e f^prime(x)=sen x+x cos x, donde
f^prime(pi / 2)=sen(pi / 2)+pi / 2 cdot cos (pi / 2)=1+0=1
Assim,
dd x[ln f(g(x))](0)=1 cdot pi / 2pi / 2=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada
ddxl[ln f(g(x))r]
avaliada em x=0, sabendo que
f(x)=xsin x, g(0)=pi2, g'(0)=pi2
Vamos usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia e a derivada de ln(u), temos
ddxl[ln f(g(x))r] =1f(g(x)),ddxl[f(g(x))r] =f'(g(x)),g'(x)f(g(x))

Passo 3

Agora avaliamos em x=0, usando g(0)=g'(0)=pi/2:
ddxl[ln f(g(x))r]|x=0 =f'(g(0)),g'(0)f(g(0)) =f'l(tfracpi2r),tfracpi2fl(tfracpi2r)

Passo 4

Calculamos f(pi/2) e f'(x):
fl(tfracpi2r) =pi2sinl(tfracpi2r) =pi2cdot1 =pi2,
f'(x) =ddxl[xsin xr] =sin x + xcos x Longrightarrow f'l(tfracpi2r) =1 + pi2cdot0 =1

Passo 5

Substituindo em
f'(pi/2),tfracpi2f(pi/2),
obtemos
1cdotpi2pi2 =1

Resposta

1

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