Problema 05 Calcule as derivadas abaixo através da definição então lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=1x+2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=1x+2 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui vamos precisar de álgebra de frações para simplificar a diferença de funções e depois tomar o limite.

Passo 2

Escrevendo f(x+h) e formando o quociente de diferença, temos
f(x+h)-f(x)h = 1x+2+h-1x+2h
Para somar as frações no numerador, colocamos o mesmo denominador:
1x+2+h-1x+2 = (x+2)-(x+2+h)(x+2+h)(x+2) = -h(x+2+h)(x+2)
Dividindo por h, o quociente fica
f(x+h)-f(x)h = -hh,(x+2+h)(x+2) = -1(x+2+h)(x+2)

Passo 3

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(x) = limhto0l(-1(x+2+h)(x+2)r) = -1(x+2)^2

Resposta

f'(x)=-1(x+2)^2

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