Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=pi-theta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre duas expansões de f(theta)=pi-theta no intervalo [0,pi]:
  1. A série de Fourier cosseno, que corresponde à extensão par de f para [-,pi,pi].
  2. A série de Fourier seno, que corresponde à extensão ímpar de f para [-,pi,pi].
    Para isso vamos usar as fórmulas padrões
a0=2piintegral0^pi f(theta),dtheta, an=2piintegral0^pi f(theta)cos(ntheta),dtheta,
bn=2piintegral0^pi f(theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 2

Série de Fourier cosseno. A extensão par de f permite escrever
f(theta)sim a02+sumn=1^inftyancos(ntheta),
com
a0=2piintegral0^pi(pi-theta),dtheta, an=2piintegral0^pi(pi-theta)cos(ntheta),dtheta

Passo 3

Cálculo de a0 e an:
integral0^pi(pi-theta),dtheta =integral0^pipi,dtheta-integral0^pitheta,dtheta =pi^2-pi^22=pi^22,
logo
a0=2picdotpi^22=pi
Para an, usamos integração por partes em integral0^pithetacos(ntheta),dtheta:
integral0^pithetacos(ntheta),dtheta =l[thetasin(ntheta)nr]0^pi -integral0^pisin(ntheta)n,dtheta =(-1)^n-1n^2
Além disso integral0^pipicos(ntheta),dtheta=0. Logo
integral0^pi(pi-theta)cos(ntheta),dtheta =;0;-;(-1)^n-1n^2 =1-(-1)^nn^2,
an=2pi,1-(-1)^nn^2

Passo 4

Como 1-(-1)^n vale 2 para n ímpar e 0 para n par, ficamos com a série cosseno
f(theta) =pi2 +sumn=1^infty2l(1-(-1)^nr)pi,n^2,cos(ntheta) =pi2 +4pisumk=0^inftycosl((2k+1)thetar)(2k+1)^2

Passo 5

Série de Fourier seno. Pela extensão ímpar de f escrevemos
f(theta)sim sumn=1^inftybnsin(ntheta),
com
bn=2piintegral0^pi(pi-theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 6

Cálculo de bn:
integral0^pi(pi-theta)sin(ntheta),dtheta =piintegral0^pisin(ntheta),dtheta -integral0^pithetasin(ntheta),dtheta
Temos
integral0^pisin(ntheta),dtheta =1-(-1)^nn, integral0^pithetasin(ntheta),dtheta =-pi(-1)^nn
Substituindo,
integral0^pi(pi-theta)sin(ntheta),dtheta =pil(1-(-1)^nr)n -l(-pi(-1)^nnr) =pin
Logo
bn=2picdotpin=2n,
e a série seno fica
f(theta) =2sumn=1^inftysin(ntheta)n

Resposta

Série cosseno:
pi-theta =pi2 +4pisumk=0^inftycosl((2k+1)thetar)(2k+1)^2
Série seno:
pi-theta =2sumn=1^inftysin(ntheta)n

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