Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
:
.
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre duas expansões de
no intervalo
:
- A série de Fourier cosseno, que corresponde à extensão par de
para . - A série de Fourier seno, que corresponde à extensão ímpar de
para .
Para isso vamos usar as fórmulas padrões
Passo 2
Série de Fourier cosseno. A extensão par de
permite escrever
com
Passo 3
Cálculo de
e
:
logo
Para
, usamos integração por partes em
:
Além disso
. Logo
Passo 4
Como
vale
para
ímpar e
para
par, ficamos com a série cosseno
Passo 5
Série de Fourier seno. Pela extensão ímpar de
escrevemos
com
Passo 6
Cálculo de
:
Temos
Substituindo,
Logo
e a série seno fica
Resposta
Série cosseno:
Série seno: