Determine x+y+z, sabendo que
A^{t}=\left(\begin{array}{lll}x & 5 & 1 \\\\ 4 & 2 & z \\\\ 7 & y & 3\end{array}\right) é a transposta da matriz A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & 7 \\\\ 5 & 2 & 8 \\\\ 1 & -1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede uma única coisa. Os dados são:
A^{t}=\begin{pmatrix}x & 5 & 1 \\[4pt] 4 & 2 & z \\[4pt] 7 & y & 3\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad A=\begin{pmatrix}3 & 4 & 7 \\[4pt] 5 & 2 & 8 \\[4pt] 1 & -1 & 3\end{pmatrix}.
A pergunta é: determinar \,x+y+z.]

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (o que é transposta). Para uma matriz A, a transposta A^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de índices:
(A^{t})_{ij}=A_{ji},
onde (A)_{ji} é o elemento da linha j e coluna i de A, e (A^{t})_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de A^{t}. Em palavras: o elemento na posição (i,j) da transposta é igual ao elemento na posição (j,i) da matriz original.
Exemplo rápido para fixar: se
B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
B^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix},
ou seja, a primeira linha de B^{t} é a primeira coluna de B, a segunda linha de B^{t} é a segunda coluna de B, etc.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: cada linha de A^{t} deve ser igual à coluna correspondente de A.
Primeira linha de A^{t} é \begin{pmatrix}x & 5 & 1\end{pmatrix}. Primeira coluna de A é
\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente teremos:
x=3,\qquad 5=5,\qquad 1=1.
Da primeira igualdade obtém-se \,x=3.]

Passo 4

Segunda linha de A^{t} é \begin{pmatrix}4 & 2 & z\end{pmatrix}. Segunda coluna de A é
\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente:
4=4,\qquad 2=2,\qquad z=-1.
Da terceira igualdade obtém-se \,z=-1.]

Passo 5

Terceira linha de A^{t} é \begin{pmatrix}7 & y & 3\end{pmatrix}. Terceira coluna de A é
\begin{pmatrix}7\\[4pt]8\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente:
7=7,\qquad y=8,\qquad 3=3.
Da segunda igualdade obtém-se \,y=8.]

Passo 6

Agora já temos os valores:
x=3,\qquad y=8,\qquad z=-1.
Somando:
x+y+z=3+8+(-1)=10.

Resposta

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