Imponho a condição \operatorname{det}(A)=0, o que dá a equação quadrática
\lambda^{2}+2\lambda-3=0.
Vou resolver por fatoração. Procuro dois números que multiplicam para -3 e somam 2. Esses números são 3 e -1, porque 3\cdot(-1)=-3 e 3+(-1)=2. Assim a quadrática fatora:
\lambda^{2}+2\lambda-3=(\lambda+3)(\lambda-1).
Portanto
(\lambda+3)(\lambda-1)=0.
Passo 6
Pela propriedade do produto nulo, as soluções são os zeros dos fatores:
\lambda+3=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-3,
\lambda-1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1.
Posso checar rapidamente substituindo em \operatorname{det}(A)=\lambda^{2}+2\lambda-3:
Para \lambda=1: 1^{2}+2\cdot1-3=1+2-3=0.
Para \lambda=-3: (-3)^{2}+2(-3)-3=9-6-3=0.
Ambos dão zero, confirmação feita.