Encontre todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}(A)=0.
\left[\begin{array}{cc}\lambda-2 & 1 \\\\ -5 & \lambda+4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}(A)=0. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}\lambda-2 & 1 \\[4pt] -5 & \lambda+4\end{pmatrix}.
Informações relevantes:
  • A incógnita é \lambda.
  • A condição desejada é \operatorname{det}(A)=0.]

Passo 2

Lembrete prático (o que vou usar): para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\operatorname{det}(M)=ad-bc.
Aqui a, b, c, d são as entradas da matriz; o produto ad é a diagonal principal e bc a outra diagonal, e subtrai-se bc de ad.

Passo 3

Aplicando a fórmula da etapa anterior à matriz A: as entradas são a=\lambda-2, b=1, c=-5, d=\lambda+4. Assim
\operatorname{det}(A)=(\lambda-2)(\lambda+4)-1\cdot(-5).

Passo 4

Vou desenvolver a expressão passo a passo:
(\lambda-2)(\lambda+4)=\lambda\cdot\lambda+\lambda\cdot4-2\cdot\lambda-2\cdot4=\lambda^{2}+4\lambda-2\lambda-8=\lambda^{2}+2\lambda-8.
Agora somo o termo vindo de -1\cdot(-5), que é +5. Então
\operatorname{det}(A)=\lambda^{2}+2\lambda-8+5=\lambda^{2}+2\lambda-3.

Passo 5

Imponho a condição \operatorname{det}(A)=0, o que dá a equação quadrática
\lambda^{2}+2\lambda-3=0.
Vou resolver por fatoração. Procuro dois números que multiplicam para -3 e somam 2. Esses números são 3 e -1, porque 3\cdot(-1)=-3 e 3+(-1)=2. Assim a quadrática fatora:
\lambda^{2}+2\lambda-3=(\lambda+3)(\lambda-1).
Portanto
(\lambda+3)(\lambda-1)=0.

Passo 6

Pela propriedade do produto nulo, as soluções são os zeros dos fatores:
\lambda+3=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-3,
\lambda-1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1.
Posso checar rapidamente substituindo em \operatorname{det}(A)=\lambda^{2}+2\lambda-3:
  • Para \lambda=1: 1^{2}+2\cdot1-3=1+2-3=0.
  • Para \lambda=-3: (-3)^{2}+2(-3)-3=9-6-3=0.
    Ambos dão zero, confirmação feita.

Resposta

\lambda=1
\lambda=-3

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