Determine o valor de x de modo que a igualdade
3. \left(\begin{array}{cc}x^{2} & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\ x & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14 & 6 \\\\ 7 & 14\end{array}\right) seja verdadeira.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre três matrizes 2\times2:
\left(\begin{array}{cc}x^{2} & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right) +2\cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] x & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}14 & 6 \\[4pt] 7 & 14\end{array}\right).
O que nos pedem é: determinar o valor de x de modo que essa igualdade de matrizes seja verdadeira. As informações importantes fornecidas são os quatro elementos de cada matriz (alguns dependem de x).]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as regras que usamos aqui (bem devagarinho, como se estivéssemos na prova):
  • Multiplicação de um escalar pela matriz: se k é um número e M=\left(\begin{smallmatrix}m_{11}&m_{12}\\\ m_{21}&m_{22}\end{smallmatrix}\right), então
k\cdot M=\left(\begin{array}{cc}k\,m_{11} & k\,m_{12} \\[4pt] k\,m_{21} & k\,m_{22}\end{array}\right).
Cada entrada é multiplicada por k.
  • Soma de matrizes do mesmo tamanho: se A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right) e B=\left(\begin{smallmatrix}b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&b_{22}\end{smallmatrix}\right), então
A+B=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\[4pt] a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{array}\right).
Ou seja, soma-se entrada por entrada, posição por posição.
  • Igualdade entre matrizes: duas matrizes 2\times2 são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais. Isso gera um sistema de quatro equações (uma para cada posição).]

Passo 3

Aplicando a multiplicação escalar 2\cdot à segunda matriz:
2\cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] x & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2\cdot 1 & 2\cdot 0 \\[4pt] 2\cdot x & 2\cdot 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 2x & 2\end{array}\right).]

Passo 4

Agora somamos a primeira matriz com o resultado acima, entrada por entrada:
\left(\begin{array}{cc}x^{2} & 2 \\[4pt] 1 & 4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 2x & 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}x^{2}+2 & 2+0 \\[4pt] 1+2x & 4+2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}x^{2}+2 & 2 \\[4pt] 1+2x & 6\end{array}\right).]

Passo 5

Colocamos essa soma igual à matriz do lado direito e igualamos entrada por entrada. Isso gera as quatro equações:
\begin{cases} x^{2}+2=14,\\[4pt] 2=6,\\[4pt] 1+2x=7,\\[4pt] 6=14. \end{cases}
Analisando essas equações:
  • A segunda equação diz 2=6, o que é manifestamente falso e independe de x.
  • A quarta equação diz 6=14, também manifestamente falsa e independe de x.
    Mesmo sem resolver as equações que envolvem x, já há contradições nas entradas que não dependem de x. Isso significa que não há nenhum valor de x que torne todas as quatro igualdades verdadeiras ao mesmo tempo.
(Se quisermos checar as equações que envolvem x: da primeira x^{2}+2=14 obteríamos x^{2}=12 e, portanto, x=\pm 2\sqrt{3}; da terceira 1+2x=7 obteríamos x=3. Essas soluções são incompatíveis entre si e além disso não resolvem as contradições já apontadas nas demais entradas.)]

Passo 6

Conclusão final: a igualdade matricial não pode ser satisfeita porque algumas entradas correspondentes são diferentes de forma independente de x. Logo não existe valor de x que faça as quatro entradas coincidirem.

Resposta

Não existe valor de x que satisfaça a igualdade.

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