Determine o valor de x de modo que a igualdade
3. \left(\begin{array}{cc}x^{2} & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\ x & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14 & 6 \\\\ 7 & 14\end{array}\right) seja verdadeira.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade entre três matrizes 2\times2:
O que nos pedem é: determinar o valor de x de modo que essa igualdade de matrizes seja verdadeira. As informações importantes fornecidas são os quatro elementos de cada matriz (alguns dependem de x).]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as regras que usamos aqui (bem devagarinho, como se estivéssemos na prova):
Multiplicação de um escalar pela matriz: se k é um número e M=\left(\begin{smallmatrix}m_{11}&m_{12}\\\ m_{21}&m_{22}\end{smallmatrix}\right), então
Soma de matrizes do mesmo tamanho: se A=\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22}\end{smallmatrix}\right) e B=\left(\begin{smallmatrix}b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&b_{22}\end{smallmatrix}\right), então
Ou seja, soma-se entrada por entrada, posição por posição.
Igualdade entre matrizes: duas matrizes 2\times2 são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais. Isso gera um sistema de quatro equações (uma para cada posição).]
Passo 3
Aplicando a multiplicação escalar 2\cdot à segunda matriz:
A segunda equação diz 2=6, o que é manifestamente falso e independe de x.
A quarta equação diz 6=14, também manifestamente falsa e independe de x.
Mesmo sem resolver as equações que envolvem x, já há contradições nas entradas que não dependem de x. Isso significa que não há nenhum valor de x que torne todas as quatro igualdades verdadeiras ao mesmo tempo.
(Se quisermos checar as equações que envolvem x: da primeira x^{2}+2=14 obteríamos x^{2}=12 e, portanto, x=\pm 2\sqrt{3}; da terceira 1+2x=7 obteríamos x=3. Essas soluções são incompatíveis entre si e além disso não resolvem as contradições já apontadas nas demais entradas.)]
Passo 6
Conclusão final: a igualdade matricial não pode ser satisfeita porque algumas entradas correspondentes são diferentes de forma independente de x. Logo não existe valor de x que faça as quatro entradas coincidirem.