Determine se y=1+c e^2 x1-c e^2 x (c constante), é solução da equação y^prime=y^2-1. (Dica: Derive y e verifique se satisfaz a equação).

Passo 1

O enunciado pede pra gente checar se a função y=1+c e^2x1-c e^2x satisfaz a equação diferencial y' = y^2 - 1. O conteúdo aqui envolve derivada de quociente e manipulação algébrica em LaTeX.

Passo 2

Para encontrar y', usamos a regra do quociente. Derivadas: (1 + c e^2x)' = 2c e^2x e (1 - c e^2x)' = -2c e^2x. Assim,
y' = (1 + c e^2x)',(1 - c e^2x) - (1 + c e^2x),(1 - c e^2x)'(1 - c e^2x)^2 = 2c e^2x(1 - c e^2x) - (1 + c e^2x)(-2c e^2x)(1 - c e^2x)^2

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
$$2c e^{2x}(1 - c e^{2x}) + 2c e^{2x}(1 + c e^{2x}) = 2c e^{2x}\bigl[(1 - c e^{2x}) + (1 + c e^{2x})\bigr] = 4c e^{2x}.
$$

Passo 4

Logo
$$y

Resposta

Sim, a função y=1+c e^2x1-c e^2x satisfaz a equação y' = y^2 - 1.

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