Calcule:
integral e^x sen^x d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral indefinida integral e^xsin x,dx. Esse tipo de integral é produto de exponencial com trigonométrica, então o caminho é usar a fórmula de integração por partes, que diz integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Vamos definir I = integral e^xsin x,dx e escolher em I os termos para partes:
u = e^x e dv = sin x dx
Logo du = e^x dx e v = -cos x. Aplicando a fórmula, temos:
I = -e^xcos x - integral(-cos x),e^x dx = -e^xcos x + integral e^xcos x,dx

Passo 3

Chamamos J = integral e^xcos x,dx e repetimos a integração por partes com u = e^x e dv = cos x dx. Assim du = e^x dx e v = sin x, o que dá:
J = e^xsin x - integral e^xsin x,dx = e^xsin x - I

Passo 4

Voltando à expressão de I, substituímos J:
I = -e^xcos x + J = -e^xcos x + e^xsin x - I
Agora isolamos I:
2I = e^xsin x - e^xcos x Longrightarrow I = e^x2(sin x - cos x) + C

Resposta

e^x2(sin x - cos x) + C

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