Calcule:
integral e^2 x sen e^x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral integral e^2x sin(e^x) ,dx. Este é um exercício de integração que combina substituição simples e integração por partes envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicando a substituição u = e^x, temos du = e^x ,dx e e^2x = (e^x)^2 = u^2. Assim a integral fica integral u^2 sin(u) ,dx. Como dx = du/u, isso se simplifica para integral u sin(u) ,du.

Passo 3

Para calcular integral u sin(u) ,du, usamos integração por partes: deixe v = u e dw = sin(u) ,du, então dv = du e w = -cos(u). Assim integral u sin(u)du = -ucos(u) + integral cos(u)du = -ucos(u) + sin(u) + C.

Passo 4

Retornando à variável x pela substituição inversa u = e^x, obtemos -e^x cos(e^x) + sin(e^x) + C como resultado final.

Resposta

-e^x \cos(e^x) + \sin(e^x) + C

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