Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Regra útil: a integral é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em fórmula:
onde
é uma constante e
são funções de
. Vou aplicar essa propriedade ao integrando
.
Passo 3
Integro o primeiro termo
.
Fato básico: a primitiva (antiderivada) de uma constante
em relação a
é
, porque a derivada de
é
.
Aplicando com
:
Passo 4
Agora integro o segundo termo
.
Lembrando a primitiva básica: se
é uma função de
, então
. Para nosso caso é conveniente usar substituição simples.
Faça a substituição
. Então
, ou seja
. Assim:
Voltando para a variável
(substituindo
):
Observação alternativa (sem formalizar substituição): note que a derivada de
é
, logo
é uma primitiva de
.
Passo 5
Somando as primitivas obtidas (pela linearidade):
onde
é a constante de integração única (pode absorver constantes vindas de cada termo).
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação: diferenciar
:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.