\int\left(3+e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(3+e^{-x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 3+e^{-x}.
  • A variável de integração é x.
  • Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Regra útil: a integral é linear, isto é, a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em fórmula:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, \qquad \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante e f,g são funções de x. Vou aplicar essa propriedade ao integrando 3+e^{-x}.

Passo 3

Integro o primeiro termo \int 3\,dx.
Fato básico: a primitiva (antiderivada) de uma constante a em relação a x é ax, porque a derivada de ax é a.
Aplicando com a=3:
\int 3\,dx = 3x.

Passo 4

Agora integro o segundo termo \int e^{-x}\,dx.
Lembrando a primitiva básica: se u é uma função de x, então \int e^{u}\,du = e^{u}+C. Para nosso caso é conveniente usar substituição simples.
Faça a substituição \,u=-x\,. Então du = -dx, ou seja dx = -du. Assim:
\int e^{-x}\,dx = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}\,du = -e^{u}+C.
Voltando para a variável x (substituindo u=-x):
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
Observação alternativa (sem formalizar substituição): note que a derivada de -e^{-x} é -)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}, logo -e^{-x} é uma primitiva de e^{-x}.

Passo 5

Somando as primitivas obtidas (pela linearidade):
\int\left(3+e^{-x}\right)\,dx = 3x + \big(-e^{-x}\big) + C = 3x - e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração única (pode absorver constantes vindas de cada termo).

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação: diferenciar F(x)=3x-e^{-x}+C:
F'(x)=\frac{d}{dx}(3x)-\frac{d}{dx}(e^{-x})+0 = 3 -(-e^{-x}) = 3+e^{-x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

3x-e^{-x}+C

Exercícios relacionados