Find d y / d x and d^2 y / d x^2. For which values of t is the curve concave upward?
12. x=t^3-12 t, y=t^2-1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = t^3 - 12t, y = t^2 - 1
e pede dfracdydx, dfracd^2ydx^2 e os valores de t para os quais a curva é côncava para cima.
O conteúdo envolvido é derivação paramétrica, usando
dydx = dydtdxdt
e
d^2ydx^2 = ddtl(dydxr)dxdt

Passo 2

Calculamos primeiro dfracdxdt e dfracdydt.
dxdt = ddtl(t^3-12tr) = 3t^2-12 = 3,(t^2-4),
dydt = ddtl(t^2-1r) = 2t

Passo 3

Usando dfracdydx = dfracdy/dtdx/dt, obtemos
dydx = 2t3,(t^2-4)

Passo 4

Agora calculamos dfracd^2ydx^2. Primeiro derivamos dydx em relação a t (regra do quociente) e depois dividimos por dxdt.
ddtl(dydxr) = 2cdot 3(t^2-4) - 2tcdot 6tl[3,(t^2-4)r]^2 = -6,(t^2+4)9,(t^2-4)^2 = -2,(t^2+4)3,(t^2-4)^2
Dividindo pelo dxdt=3(t^2-4), vem
d^2ydx^2 = -2,(t^2+4)3,(t^2-4)^23,(t^2-4) = -2,(t^2+4)9,(t^2-4)^3

Passo 5

A curva é côncava para cima quando dfracd^2ydx^2>0. Note que -2,(t^2+4)<0 para todo t, logo o sinal de dfracd^2ydx^2 é determinado por (t^2-4)^3.
(t^2-4)^3<0 ;Long<=ftrightarrow; t^2-4<0 ;Long<=ftrightarrow; -2<t<2

Resposta

dydx=2t3,(t^2-4),
d^2ydx^2=-2,(t^2+4)9,(t^2-4)^3,
a curva é côncava para cima para -2<t<2.

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