Determine y^prime ou f^prime(x) em cada um dos itens:
f(x)=x^4 sen(x)e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{4} \cdot \sin(x)}{e^{x}} $ e precisa encontrar a derivada dela, que é $ f’(x) $. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma técnica de derivação para funções que são frações. Também vamos precisar saber como derivar funções como $ \sin(x) $, $ x^n $ e $ e^x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, digamos $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
u(x)v(x)
Então, vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função.

Passo 3

Na nossa função:
u(x) = x^4 cdot sin(x)
v(x) = e^x
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $, ou seja, $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 4

Vamos começar com $ v(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ é bem simples:
v(x) = e^x
Agora, vamos para $ u(x) = x^{4} \cdot \sin(x) $. Aqui precisamos usar a Regra do Produto, que diz que se você tem duas funções multiplicadas, $ a(x) \cdot b(x) $, a derivada é:
e^x
Então, vamos derivar $ x^4 $ e $ \sin(x) $ separadamente.

Passo 5

Derivando $ x^{4} $:
x^4
E derivando $ \sin(x) $:
ddx x^4 = 4x^3
Aplicando a Regra do Produto:
sin(x)

Passo 6

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
u'(x)
Substituindo:
v'(x)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, distribuímos $ e^{x} $:
e^x
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
f'(x) = 4x^3 sin(x) e^x + x^4 cos(x) e^x - x^4 sin(x) e^xe^2x
Agora, simplificamos dividindo $ e^{x} $ por $ e^{2x} $:
e^x
E podemos reescrever para deixar mais arrumado:
f'(x) = e^x (4x^3 sin(x) + x^4 cos(x) - x^4 sin(x))e^2x

Resposta

A derivada de $ f(x) = \frac{x^{4} \cdot \sin(x)}{e^{x}} $ é:
f(x) = x^4 cdot sin(x)e^x

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