Determine
ou
em cada um dos itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{4} \cdot \sin(x)}{e^{x}} $ e precisa encontrar a derivada dela, que é $ f’(x) $. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma técnica de derivação para funções que são frações. Também vamos precisar saber como derivar funções como $ \sin(x) $, $ x^n $ e $ e^x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, digamos $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
Então, vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função.
Passo 3
Na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $, ou seja, $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 4
Vamos começar com $ v(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ é bem simples:
Agora, vamos para $ u(x) = x^{4} \cdot \sin(x) $. Aqui precisamos usar a Regra do Produto, que diz que se você tem duas funções multiplicadas, $ a(x) \cdot b(x) $, a derivada é:
Então, vamos derivar $ x^4 $ e $ \sin(x) $ separadamente.
Passo 5
Derivando $ x^{4} $:
E derivando $ \sin(x) $:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, distribuímos $ e^{x} $:
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
Agora, simplificamos dividindo $ e^{x} $ por $ e^{2x} $:
E podemos reescrever para deixar mais arrumado:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{x^{4} \cdot \sin(x)}{e^{x}} $ é: