Determine y^prime ou f^prime(x) em cada um dos itens:
tg(x+2 y)=y^2 e^4 x+log 3(x)

Passo 1

Reescrevendo o enunciado: temos a equação implícita
tan(x+2y)=y^2e^4x+log3(x)
O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia, da regra do produto e da derivada de log3(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Para tan(u), usamos a regra da cadeia: (tan u)'=sec^2(u),u'.
  • Para u=x+2y, temos u'=1+2y'.
  • Para y^2e^4x, usamos produto:
    (y^2)'=2y,y' e (e^4x)'=4e^4x.
  • Para log3(x), usamos (log3(x))'=1/(xln 3).

Passo 3

Aplicando essas derivadas, obtemos
sec^2(x+2y),(1+2y')=2y,y',e^4x+4y^2e^4x+1xln 3

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos que envolvem y':
sec^2(x+2y)+2sec^2(x+2y),y'=2y,y',e^4x+4y^2e^4x+1xln 3
colocando todos os y' de um lado, temos
2sec^2(x+2y),y'-2y,e^4x,y'=4y^2e^4x+1xln 3-sec^2(x+2y)

Passo 5

Fatorando y' e resolvendo:
y'l(2sec^2(x+2y)-2y,e^4xr)=4y^2e^4x+1xln 3-sec^2(x+2y)
Então, isolamos y':
y'=4y^2e^4x+dfrac1xln 3-sec^2(x+2y)2sec^2(x+2y)-2y,e^4x

Resposta

y'=4y^2e^4x+1xln 3-sec^2(x+2y)2sec^2(x+2y)-2y,e^4x

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