Prove o Método de Integração por Substituição.
Teorema (Método de Integração Indefinida por Substituição). Seja
uma funçâo cuja antiderivada é F e g uma função diferenciável, então
onde
.
Teorema (Método de Integração Indefinida por Substituição). Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar o Método de Integração por Substituição. Esse método é super útil para resolver integrais mais complicadas. Basicamente, ele nos ajuda a simplificar uma integral fazendo uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma antiderivada e como a substituição funciona nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. Se você tem uma função $ f $, uma antiderivada dessa função é outra função $ F $ tal que a derivada de $ F $ é $ f $. Em outras palavras, $ F’(x) = f(x) $.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos uma função $ g(x) $ que é diferenciável, ou seja, ela tem derivada em todos os pontos do seu domínio. A ideia do método de substituição é mudar a variável da integral para simplificar o cálculo.
Passo 4
Vamos definir uma nova variável $ u $ igual a $ g(x) $. Então, $ u = g(x) $. Para mudar a variável na integral, precisamos também mudar o diferencial $ dx $ para $ du $. Calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $: $ \frac{du}{dx} = g’(x) $, ou seja, $ du = g’(x)dx $.
Passo 5
Agora, vamos substituir $ u = g(x) $ e $ du = g’(x)dx $ na integral original. A integral
fica
.
Passo 6
Com essa substituição, a integral fica mais simples de resolver porque agora estamos integrando em termos de $ u $, que é uma variável mais fácil de manipular.
Resposta
Portanto, mostramos que
quando $ u = g(x) $, provando assim o Método de Integração por Substituição.