Prove o Método de Integração por Substituição.
Teorema (Método de Integração Indefinida por Substituição). Seja f uma funçâo cuja antiderivada é F e g uma função diferenciável, então
integral f(g(x)) g^prime(x) d x=integral f(u) d u
onde u=g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar o Método de Integração por Substituição. Esse método é super útil para resolver integrais mais complicadas. Basicamente, ele nos ajuda a simplificar uma integral fazendo uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma antiderivada e como a substituição funciona nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. Se você tem uma função $ f $, uma antiderivada dessa função é outra função $ F $ tal que a derivada de $ F $ é $ f $. Em outras palavras, $ F’(x) = f(x) $.

Passo 3

Agora, vamos considerar que temos uma função $ g(x) $ que é diferenciável, ou seja, ela tem derivada em todos os pontos do seu domínio. A ideia do método de substituição é mudar a variável da integral para simplificar o cálculo.

Passo 4

Vamos definir uma nova variável $ u $ igual a $ g(x) $. Então, $ u = g(x) $. Para mudar a variável na integral, precisamos também mudar o diferencial $ dx $ para $ du $. Calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $: $ \frac{du}{dx} = g’(x) $, ou seja, $ du = g’(x)dx $.

Passo 5

Agora, vamos substituir $ u = g(x) $ e $ du = g’(x)dx $ na integral original. A integral u = g(x) fica du = g'(x)dx .

Passo 6

Com essa substituição, a integral fica mais simples de resolver porque agora estamos integrando em termos de $ u $, que é uma variável mais fácil de manipular.

Resposta

Portanto, mostramos que integral f(g(x)) g^prime(x) dx = integral f(u) du
quando $ u = g(x) $, provando assim o Método de Integração por Substituição.

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