Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
cos ^2(3 y x)-ln (x y)=0

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
cos^2l(3x yr)-lnl(xyr)=0
e pede y'=dydx. O conteúdo é diferenciação implícita usando regra da cadeia e derivada de ln.

Passo 2

Diferenciando cos^2(3xy) em relação a x, seja u=3xy. Então
ddxl[cos^2(u)r] =2cos(u)cdotl(-sin(u)r)cdotdudx =-2cos(3xy)sin(3xy)cdotl(3y+3x y'r),
isto é,
ddxl[cos^2(3xy)r] =-6cos(3xy)sin(3xy),(y+x y')

Passo 3

Diferenciando -ln(xy), temos
ddxl[ln(xy)r] =1xy,ddx(xy) =1xy(y+x y'),
portanto
ddxl[-ln(xy)r] =-y+x y'xy

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero:
-6cos(3xy)sin(3xy),(y+x y');-;y+x y'xy=0
Fatorando y+x y' obtemos
(y+x y')l[-6cos(3xy)sin(3xy)-tfrac1xyr]=0

Passo 5

O segundo fator não é nulo em geral, logo o que zera o produto é
y+x y'=0 Longrightarrow y'=-yx

Resposta

y'=-yx

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