Use o teste da comparação para mostrar a divergência ou convergência da integral.
integral6^infty d xraizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral6^infty dxraizx^2+1
converge ou diverge. O conteúdo aplicado será o teste de comparação para integrais impróprias de funções não negativas.

Passo 2

O teste de comparação diz que, se para x grande tivermos
0 <= g(x)<= f(x)
e integrala^inftyg(x),dx diverge, então também integrala^inftyf(x),dx diverge.

Passo 3

Para x>=6 note que
x^2+1 <= x^2+x^2 = 2x^2,
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raizx^2+1 <= raiz2,x Longrightarrow 1raizx^2+1>= 1raiz2,x
Tomamos
g(x)=1raiz2,x,
de modo que 0<= g(x)<= f(x) para x>=6.

Passo 4

Calculemos
integral6^inftyg(x),dx = integral6^infty1raiz2,x,dx = 1raiz2 integral6^infty1x,dx = 1raiz2l[ln(x)r]6^infty =infty
Como integral6^inftyg(x),dx diverge e g(x)<= f(x), pelo teste de comparação a integral de f(x) também diverge.

Resposta

A integral
integral6^infty dxraizx^2+1
diverge.

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