Use o teste da comparação para mostrar a divergência ou convergência da integral.
integral0^infty 2 x^2+3 x+13 x^4+5 x^3+2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^infty2x^2+3x+13x^4+5x^3+2x+1,dx
usando o teste da comparação. Vamos verificar separadamente o comportamento em xto0^+ e em xtoinfty.

Passo 2

Analisando em torno de x=0: para 0<x<=1 temos
2x^2+3x+1<= 2cdot1^2+3cdot1+1=6 e 3x^4+5x^3+2x+1>=1
Logo, em (0,1],
0<= 2x^2+3x+13x^4+5x^3+2x+1<= 6
Como integral0^16,dx=6 é finita, a parte de 0 a 1 converge por comparação com uma função constante.

Passo 3

Analisando em torno de xtoinfty: para x>=1 notamos que
2x^2+3x+1<= (2+3+1)x^2=6x^2 e 3x^4+5x^3+2x+1>= 3x^4
Assim, para x>=1,
0<= 2x^2+3x+13x^4+5x^3+2x+1 <= 6x^23x^4 = 2x^2
Sabemos que
integral1^infty2x^2,dx =2l[-1xr]1^infty =2,
logo a parte de 1 ao infinito converge por comparação com 2/x^2.

Resposta

A integral
integral0^infty2x^2+3x+13x^4+5x^3+2x+1,dx
converge.

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