Use o teste da comparação para mostrar a divergência ou convergência da integral.
integral0^pi sen xraiz[4]x d x

Passo 1

O enunciado pede estudar a convergência da integral imprópria
integral0^pi sin xraiz[4]x , dx
que é singular em x=0. O conteúdo é cálculo de integrais impróprias e uso do teste de comparação.

Passo 2

Para analisar xto0^+, usamos a desigualdade sin x<= x em (0,1]. Assim,
0 ,<=, sin xx^1/4 ,<=, xx^1/4 = x^3/4
Como
integral0^1 x^3/4,dx = [47x^7/4]0^1 = 47 < infty,
pela comparação concluímos que
integral0^1sin xx^1/4,dx converge.

Passo 3

No intervalo [1,pi] a função sin x / x^1/4 é contínua, logo integrável. Portanto
integral1^pisin xx^1/4,dx é finita.

Passo 4

Somando as partes de 0 a 1 e de 1 a pi, ambas finitas, obtemos que a integral imprópria original converge.

Resposta

A integral converge.

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