Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln (arctan (x^2))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=f(x) definida por
y = lnl(arctan(x^2)r)
O conteúdo é derivação de composição de funções, usando a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de ln, arctan e x^2.

Passo 2

Aplico a derivada de ln(u):
ddxl[ln(u)r] = 1u,dudx,
com u = arctan(x^2). Logo,
y' = 1arctan(x^2) cdot ddxl[arctan(x^2)r]

Passo 3

Agora uso a derivada de arctan(v):
ddxl[arctan(v)r] = 11+v^2,dvdx,
com v = x^2. Então
ddxl[arctan(x^2)r] = 11+(x^2)^2,ddx[x^2]

Passo 4

A derivada de x^2 é 2x. Substituindo em cima:
ddxl[arctan(x^2)r] = 11+x^4cdot 2x = 2x1+x^4

Passo 5

Volto à expressão de y' e combino os resultados:
y' = 1arctan(x^2) cdot 2x1+x^4 = 2x(1+x^4),arctan(x^2)

Resposta

y' = 2x(1+x^4),arctan(x^2)

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