Determine as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f.
f(x)=x+4x^2-16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função racional f(x)=x+4x^2-16. O conteúdo envolve definição de assíntota, fatoração de polinômios e cálculo de limites.

Passo 2

Fatoramos o denominador: x^2-16=(x+4)(x-4). Assim, para xneq-4 podemos simplificar
f(x)=x+4(x+4)(x-4)=1x-4
O domínio original é Rsetminus-4,4. Em x=-4 há um ponto removível (buraco) e em x=4 há possibilidade de assíntota vertical.

Passo 3

Para achar as assíntotas verticais observamos onde f(x) tende a pminfty. A forma simplificada 1/(x-4) mostra que em x=-4 o valor é finito (buraco), mas em x=4 o denominador zera sem cancelamento, fazendo f(x)topminfty. Logo, há assíntota vertical em x=4.

Passo 4

Para achar a assíntota horizontal comparamos os graus: o numerador tem grau 1 e o denominador grau 2. Sempre que o grau do numerador é menor,
limxtopminftyf(x)=0,
portanto a assíntota horizontal é y=0.

Resposta

Assíntota vertical: x=4. Assíntota horizontal: y=0.

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