Encontre o raio e o intervalo de convergência da serie.
sumn=0^infty x^nn !

Passo 1

Estamos lidando com a série de potências sumn=0^infty x^nn!. O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos precisar do teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

O teste da razão afirma que, para uma série sum an x^n, se L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|<1, então a série converge absolutamente para esses x. O raio de convergência R satisfaz L=|x|/R.

Passo 3

Aqui temos an=1/n!. Então
|an+1x^n+1an x^n|=|1/(n+1)!,x^n+1(1/n!),x^n|=|xn+1|

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|xn+1|=0<1

Passo 5

Como o resultado é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série converge para qualquer número real.

Resposta

Raio de convergência R=infty; intervalo de convergência ( -infty,infty ).

Exercícios relacionados