Determine
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar um número complexo $ z $ que, ao ser elevado ao quadrado, dá $ 3 + 4i $. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos usar algumas propriedades básicas para resolver equações envolvendo eles. Vamos precisar entender como multiplicar números complexos e igualar suas partes reais e imaginárias.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que nosso número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = a + b i $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária ($ i^2 = -1 $).
Passo 3
Agora, vamos elevar $ z $ ao quadrado:
Usando a fórmula do quadrado da soma:
Sabendo que $ i^2 = -1 $:
Passo 4
Comparando isso com o que nos foi dado na equação $ z^2 = 3 + 4i $, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
Passo 5
Da segunda equação $ 2 a b = 4 $, podemos simplificar para:
Isso significa que $ b = \frac{2}{a} $.
Passo 6
Agora, substituímos $ b $ na primeira equação:
Simplificando:
Passo 7
Multiplicando tudo por $ a^2 $ para eliminar a fração:
Rearranjando:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática em termos de $ a^2 $. Seja $ y = a^2 $:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Assim, $ y = 4 $ ou $ y = -1 $. Mas como $ y = a^2 $ e quadrado de um número real não pode ser negativo, descartamos $ y = -1 $.
Passo 9
Então, $ a^2 = 4 $ nos dá $ a = 2 $ ou $ a = -2 $.
Passo 10
Usando $ b = \frac{2}{a} $:
- Se $ a = 2 $, então $ b = 1 $.
- Se $ a = -2 $, então $ b = -1 $.
Resposta
Os números complexos que satisfazem $ z^2 = 3 + 4i $ são: