Determine z in C tal que:
z^2=3+4 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar um número complexo $ z $ que, ao ser elevado ao quadrado, dá $ 3 + 4i $. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos usar algumas propriedades básicas para resolver equações envolvendo eles. Vamos precisar entender como multiplicar números complexos e igualar suas partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que nosso número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = a + b i $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária ($ i^2 = -1 $).

Passo 3

Agora, vamos elevar $ z $ ao quadrado:
z
Usando a fórmula do quadrado da soma:
z^2 = (a + b i)^2
Sabendo que $ i^2 = -1 $:
z^2 = a^2 + 2 a b i + b^2 i^2

Passo 4

Comparando isso com o que nos foi dado na equação $ z^2 = 3 + 4i $, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
z^2 = 3 + 4i
a^2 - b^2 = 3 (parte real) á

Passo 5

Da segunda equação $ 2 a b = 4 $, podemos simplificar para:
2 a b = 4
Isso significa que $ b = \frac{2}{a} $.

Passo 6

Agora, substituímos $ b $ na primeira equação:
b
Simplificando:
a^2 - ( 2a )^2 = 3

Passo 7

Multiplicando tudo por $ a^2 $ para eliminar a fração:
a^2
Rearranjando:
a^4 - 4 = 3 a^2

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática em termos de $ a^2 $. Seja $ y = a^2 $:
a^2
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
y = a^2
Assim, $ y = 4 $ ou $ y = -1 $. Mas como $ y = a^2 $ e quadrado de um número real não pode ser negativo, descartamos $ y = -1 $.

Passo 9

Então, $ a^2 = 4 $ nos dá $ a = 2 $ ou $ a = -2 $.

Passo 10

Usando $ b = \frac{2}{a} $:
  • Se $ a = 2 $, então $ b = 1 $.
  • Se $ a = -2 $, então $ b = -1 $.

Resposta

Os números complexos que satisfazem $ z^2 = 3 + 4i $ são:
z^2 = 3 + 4i

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