Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral tripla.
(d) integral0^pi / 2 integral0^y integral0^x cos (x+y+z) d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração definida por 0 <= z <= y <= x <= pi/2 e, em seguida, calcular a integral tripla
integral0^pi/2!integral0^x!integral0^y cos(x+y+z) ,dz,dy,dx
Vamos usar geometria de regiões em R^3 e integração iterada.

Passo 2

Para esboçar a região, projetamos em cada plano coordenado. No plano xy, o triângulo é dado por 0<= y<= x<=pi/2. Para cada ponto desse triângulo, z varia de 0 até y. Logo, a região D é o tetraedro de vértices
(0,0,0),;(pi/2,0,0),;(pi/2,pi/2,0),;(pi/2,pi/2,pi/2)

Passo 3

Reescrevendo a integral conforme a ordem dada, temos
I=integralx=0^pi/2integraly=0^xintegralz=0^y cos(x+y+z) ,dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^ycos(x+y+z),dz = l[sin(x+y+z)r]z=0^z=y = sin(x+2y)-sin(x+y)

Passo 5

Agora integramos em y:
Calculemos separadamente
integral0^x sin(x+2y),dy = tfrac12integralt=x^3xsin t,dt = tfrac12l[-cos tr]x^3x = tfrac12l(-cos(3x)+cos xr),
integral0^x sin(x+y),dy = integralu=x^2xsin u,du = l[-cos ur]x^2x = -cos(2x)+cos x
Subtraindo, obtemos a integral parcial
J(x)= cos(2x) - tfrac12l(cos(3x)+cos xr)

Passo 6

Por fim, integramos em x:
I = integral0^pi/2 J(x),dx = integral0^pi/2cos(2x),dx - tfrac12integral0^pi/2cos(3x),dx - tfrac12integral0^pi/2cos x,dx
Calculando cada termo:
integral0^pi/2cos(2x),dx = 0, integral0^pi/2cos(3x),dx = -tfrac13, integral0^pi/2cos x,dx = 1
Logo
I = 0 - tfrac12(-tfrac13) - tfrac12(1) = tfrac16 - tfrac12 = -tfrac13

Resposta

-tfrac13

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