Divida x^5-3 x^3+2 x-8 por x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de dividir o polinômio $ x^{5} - 3x^{3} + 2x - 8 $ por $ x^{2} - 1 $. Esse tipo de problema envolve divisão de polinômios, que é uma parte da álgebra. Para resolver isso, vamos usar a divisão polinomial, parecido com a divisão longa que fazemos com números.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo de maior grau no dividendo (o polinômio que está sendo dividido), que é $ x^{5} $, e no divisor, que é $ x^{2} $. A ideia é ver quantas vezes $ x^{2} $ cabe em $ x^{5} $.
Dividindo $ x^{5} $ por $ x^{2} $, a gente consegue $ x^{3} $. Então, o primeiro termo do nosso quociente será $ x^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar esse termo $ x^{3} $ pelo divisor $ x^{2} - 1 $:
x^3

Passo 4

Em seguida, subtraímos esse resultado do dividendo original:
(x^5 - 3x^3 + 2x - 8) - (x^5 - x^3) = (-3x^3 + x^3) + 2x - 8 = -2x^3 + 2x - 8
Agora, nosso novo dividendo é $ -2x^{3} + 2x - 8 $.

Passo 5

Repetimos o processo: dividimos o termo de maior grau do novo dividendo, que é $ -2x^{3} $, pelo termo de maior grau do divisor, $ x^{2} $:
-2x^3
Então, adicionamos $ -2x $ ao nosso quociente.

Passo 6

Multiplicamos esse novo termo do quociente pelo divisor:
-2x times (x^2 - 1) = -2x^3 + 2x

Passo 7

Subtraímos esse resultado do dividendo atual:
(-2x^3 + 2x - 8) - (-2x^3 + 2x) = 0 + 0 - 8 = -8
Agora, o que resta é $ -8 $, que é de menor grau que o divisor $ x^{2} - 1 $, então paramos por aqui.

Resposta

O resultado da divisão é:
Quociente = x^3 - 2x
Resto = -8
Ou seja,
x^5 - 3x^3 + 2x - 8 = (x^3 - 2x)(x^2 - 1) - 8

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